アデール環

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アデール環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/01 09:06 UTC 版)

アデール環(adele ring) （単にアデールと呼ぶ事もある）とは、有理数の体（あるいはより一般的な任意の代数体）の上に構成された自己双対な位相環であり、整数論における基本的な対象である。アデール環は有理数体の全ての完備化の情報をもっている。

アデール環は、はじめ類体論の簡素化と明確化のためにクロード・シュヴァレー(Claude Chevalley)により導入されたが、現代の整数論では欠かせない概念となっている。

アデール環の乗法群を代数体の乗法で割ってできる群は類体論において中心的な対象である。また多項式の有理数解を研究するディオファントス幾何学（英語版）(Diophantine geometry)において、まず有理数体をふくむ完備なアデール環において解を発見し、それが実際に有理数体における解となるかを決定するという手法をとることもある。

「アデール」という用語は、「additive idèle」（加法的なイデール）を短くしたものであり^[1]、アンドレ・ヴェイユ(André Weil)により導入された。それ以前の名前は「付値ベクトル(the valuation vectors)」であった。歴史的には、完備化を使わず定義された再部分化の環(the ring of repartitions)（現在はプレ-アデール(pre-adèle)と呼ばれることもある）がはじめに考えられ、その後アデールが定義された。

定義

整数の射有限完備化 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$