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位相環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/23 02:23 UTC 版)

位相環（いそうかん、英: topological ring）とは、位相空間でもある環で、環としての和と積がいずれも位相空間上の連続写像になっているものをいう。

位相環 K が、更に体であり、逆元を取る操作が K－{0} から K－{0}への連続写像になっている場合、K は位相体（いそうたい、英: topological field）であるという。

位相環は加法に関して位相群なので、一様空間でもある。この時、この位相環がもし一様空間として完備でない場合は、完備化した一様空間が（同型を除いて）一意に存在するが、それも位相環になっている。たとえば有理数環を完備化したものは実数環である。この場合、元の位相環は完備化した位相環の稠密部分環である。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 14:00 UTC 版)

「環 (数学)」の記事における「位相環」の解説

詳細は「位相環」を参照位相空間 (X, T) が環構造 (X, +, · ) も持つものとする。このとき、(X, T, +, · ) が位相環であるとは、その環構造と位相構造が両立することをいう。すなわち、和と積をとる写像 + : X × X → X , {\displaystyle +:X\times X\to X,} ⋅ : X × X → X {\displaystyle \cdot :X\times X\to X} がともに連続写像となる（ただし、X × X には積位相を入れるものとする）。従って明らかに、任意の位相環は加法に関して位相群である。実数全体の成す集合 R は通常の環構造と位相に関して位相環である。二つの位相環の直積は直積環の構造と積位相に関して位相環になる。

※この「位相環」の解説は、「環 (数学)」の解説の一部です。
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