位相的エントロピー (いそうてきエントロピー、英 : topological entropy )とは、力学系 の不変量 であり、アドラー=クロンハイム=マカンドルーが1965年に導入した[ 1] 。
開被覆による定義
アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。
(
X
,
f
)
{\displaystyle (X,f)}
をコンパクト離散力学系とせよ。 すなわち、
X
{\displaystyle X}
はコンパクト位相空間 であり、
f
:
X
→
X
{\displaystyle f\colon X\to X}
は連続写像である。
まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。
α
{\displaystyle \alpha }
と
β
{\displaystyle \beta }
を
X
{\displaystyle X}
の開被覆 とせよ。 このとき、
α
{\displaystyle \alpha }
と
β
{\displaystyle \beta }
の共通細分
α
∨
β
{\displaystyle \alpha \vee \beta }
を
α
∨
β
:=
{
A
∩
B
∣
A
∈
α
,
B
∈
β
}
{\displaystyle \alpha \vee \beta :=\{A\cap B\mid A\in \alpha ,B\in \beta \}}
により定義する。 また、
f
−
1
(
α
)
:=
{
f
−
1
(
A
)
∣
A
∈
α
}
{\displaystyle f^{-1}(\alpha ):=\{f^{-1}(A)\mid A\in \alpha \}}
も
X
{\displaystyle X}
の開被覆である。
さて、位相的エントロピーを定義しよう。
α
{\displaystyle \alpha }
を
X
{\displaystyle X}
の開被覆とせよ。
α
{\displaystyle \alpha }
の有限部分被覆の濃度の最小値を、
N
(
α
)
{\displaystyle N(\alpha )}
とする。 このとき、開被覆
α
{\displaystyle \alpha }
のエントロピーを
H
(
α
)
:=
log
2
N
(
α
)
{\displaystyle H(\alpha ):=\log _{2}N(\alpha )}
により定義する。
また、極限
lim
n
→
∞
1
n
H
(
α
∨
f
−
1
(
α
)
∨
⋯
∨
f
−
(
n
−
1
)
(
α
)
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(\alpha \vee f^{-1}(\alpha )\vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha ))}
は常に存在する。 この極限値を開被覆
α
{\displaystyle \alpha }
に関する連続写像
f
{\displaystyle f}
のエントロピーと呼び、
h
(
f
,
α
)
{\displaystyle h(f,\alpha )}
と表す。
このとき、コンパクト離散力学系
(
X
,
f
)
{\displaystyle (X,f)}
の位相的エントロピー
h
(
f
)
{\displaystyle h(f)}
を
h
(
f
)
:=
sup
α
h
(
f
,
α
)
{\displaystyle h(f):=\sup _{\alpha }h(f,\alpha )}
により定義する。 ただし、上限は開被覆の全体で考える。
^ R.L. Adler, A.G. Konheim, M.H. McAndrew, Topological Entropy , Transactions of the American Mathematical Society 114 (1965) 309-319