開被覆による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/14 16:22 UTC 版)
「位相的エントロピー」の記事における「開被覆による定義」の解説
アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。 ( X , f ) {\displaystyle (X,f)} をコンパクト離散力学系とせよ。すなわち、 X {\displaystyle X} はコンパクト位相空間であり、 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} は連続写像である。 まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。 α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } を X {\displaystyle X} の開被覆とせよ。このとき、 α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } の共通細分 α ∨ β {\displaystyle \alpha \vee \beta } を α ∨ β := { A ∩ B ∣ A ∈ α , B ∈ β } {\displaystyle \alpha \vee \beta :=\{A\cap B\mid A\in \alpha ,B\in \beta \}} により定義する。また、 f − 1 ( α ) := { f − 1 ( A ) ∣ A ∈ α } {\displaystyle f^{-1}(\alpha ):=\{f^{-1}(A)\mid A\in \alpha \}} も X {\displaystyle X} の開被覆である。 さて、位相的エントロピーを定義しよう。 α {\displaystyle \alpha } を X {\displaystyle X} の開被覆とせよ。 α {\displaystyle \alpha } の有限部分被覆の濃度の最小値を、 N ( α ) {\displaystyle N(\alpha )} とする。このとき、開被覆 α {\displaystyle \alpha } のエントロピーを H ( α ) := log 2 N ( α ) {\displaystyle H(\alpha ):=\log _{2}N(\alpha )} により定義する。 また、極限 lim n → ∞ 1 n H ( α ∨ f − 1 ( α ) ∨ ⋯ ∨ f − ( n − 1 ) ( α ) ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(\alpha \vee f^{-1}(\alpha )\vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha ))} は常に存在する。この極限値を開被覆 α {\displaystyle \alpha } に関する連続写像 f {\displaystyle f} のエントロピーと呼び、 h ( f , α ) {\displaystyle h(f,\alpha )} と表す。 このとき、コンパクト離散力学系 ( X , f ) {\displaystyle (X,f)} の位相的エントロピー h ( f ) {\displaystyle h(f)} を h ( f ) := sup α h ( f , α ) {\displaystyle h(f):=\sup _{\alpha }h(f,\alpha )} により定義する。ただし、上限は開被覆の全体で考える。
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