位相空間の圏

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位相空間の圏

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/19 15:10 UTC 版)

数学の一分野である圏論における位相空間の圏（いそうくうかんのけん、英: category of topological spaces）Top あるいは ${\mathcal {T}}\!\!op$ は、位相空間を対象とし、連続写像を射とする圏を言う。ただし、しばしば対象や射を特定のものに制限したり適当なものに取り換えたりするので注意が必要である（例えば、対象はしばしばコンパクト生成と仮定する）。これが圏を成すことは、二つの連続写像の合成がふたたび連続となることによる。圏 Top および位相的性質を圏論の手法を用いて研究する分野を圏論的位相空間論 (categorical topology) と言う。

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位相空間の圏

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:28 UTC 版)

「位相の特徴付け」の記事における「位相空間の圏」の解説

詳細は「位相空間の圏」を参照 厳密に言えば、本項における各定義は具体圏を定めるもので、それらの圏はどの二つも互いに具体同型であることが示せる。つまり、以下に定義する圏はどの二つをとっても、圏の対象をそのまま単に集合と看做し、圏の射をそのまま集合の間の写像と看做したとき、（集合の圏の部分圏として）圏同型になる。 具体同型を実際に構成することは、それほど明らかなものではなく、概して面倒である。最も単純なやり方はおそらく、位相空間の圏 Top と各圏の間の互いに逆となる具体同型の組を構成することである。それには以下のような手順を踏めばよい。 対象の間の逆対応を定め、それが実際に逆になることを確かめて、対応する対象が同じ台集合を持つものになっているかどうかを確かめる。 集合間の写像がそれらの圏の射（つまり「連続」）となることと、Top における射（つまり連続写像）となることとの同値性を確かめる。