図式_(圏論)

ウィキペディア

図式 (圏論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/24 15:47 UTC 版)

圏論における図式（ずしき、英: diagram）とは、有向グラフから圏への像を言う。一般には共変関手のことを指す。

図式は極限と余極限の定義において中心となる概念であり、錐とも関連している。

概要

圏論における図式の概念は、集合論における添え字付き集合族に類似している。一番の違いは、圏論では射にも添え字を付ける必要があることである。添え字付き集合族は、ある固定した集合で添え字付けた集合の集まりのことであり、これは、固定した添え字集合から集合全体のクラスへの関数のことであると言っているのと同じである。これに対して、図式は、ある固定した圏で添え字付けた対象と射の集まりのことであり、固定した添え字圏からある圏への関手のことであると言うこともできる。

定義

圏 C 上の J-型 (J-type) の図式（diagram）とは、共変関手

D: J → C

のことを言う。このドメインの圏 J のことをこの図式の添字圏 (index category) やスキーム（scheme）と呼ぶ。関手自体を J-型の図式と呼ぶこともある。 J の対象や射自体にはたいした意味はなく、それらがどのように繋がっているかが重要となる。図式 D は J をパターンとして、C の対象と射の集まりに添え字付けていると考えることもできる。

形式上は、図式と関手、スキームと圏の間にはなんの違いもない。集合論の場合と同様に、用語を使い分けることでものの見方を変えているだけである。つまり、添え字の圏を固定して、関手(とその余ドメイン)を変化させようとしているときに図式と呼ぶのである。

よく使われる図式では、添え字圏 J は小さい圏や有限である。このとき、図式は小さいとか有限であるという。

圏 C 上の J-型図式の射とは、これら関手の間の自然変換をいう。これは C 上の J-型の図式の圏（category of diagrams）を関手圏 C^J（functor category） 、加えて図式をこの圏の対象として解釈することができる。

例

• 圏 C の任意の対象 A に対する定図式 (constant diagram) とは、 J の対象を全て A にうつし、射を全て A の恒等射にうつす図式をいう。定図式を表す記法として、下線を使うことがある。すなわち、C の対象 A に対する定図式は A と書く。
• J が(小さい)離散圏の場合の J-型の図式とは、単に C の対象の添え字付けられた族を言う。これを使って極限を取ると積が得られ、余極限を取ると余積が得られる。特に、J が二対象離散圏の場合の極限は単に二項積である。
• 添字圏が J = -1 ← 0 → +1 のときの J-型図式、すなわち A ← B → C をスパンと呼び、その余極限は押し出しである。この図式で対象 B（および射 B → A と B → C）を「忘れる」(空にとる) 場合を考えると、図式は単なる二対象（Aと C からなる）離散圏で、その余極限は単なる二項余積になる。この例は、集合論的な添字集合の概念の図式の概念を用いた一般化の重要な方法論を示すものになっている。つまり、射 B → A と B → C が含まれていることによって、図式から作られる構成に追加の構造を持たせることが可能となる。単なる集合を添え字にした場合、対象の間の関係を持っていないため、このような構造を表現することはできない。
• 添字圏が J = -1 → 0 ← +1 に対する J-型図式 A → B ← C は余スパンと言い、その極限を引き戻しと呼ぶ。
• 添字圏 $J=0\rightrightarrows 1$ は「2つの平行射」やときには自由箙やwalking quiverと呼ばれる。J-型図式 f, g: X → Y は箙となり、極限は等化子であり、余極限は余等化子である。
• 圏 J を半順序集合圏とするとき、J-型の図式は対象の族 D_i であって、i ≤ j に限り必ず唯一の射 f_ij: D_i → D_j があるようなものになる。J が有向であるとき、J-型の図式は対象と射からなる直系という。図式が反変関手である場合は逆系である。

錐と極限

図式 D: J → C に関する頂点 N を持つ錐とは、定図式 Δ(N) から D への射を言う。この定図式は、J の対象をすべて C の対象 N にうつし、射は全て N の恒等射にうつす。

図式 D の極限とは、D への普遍錐のことである。これは錐が他のどの錐についても、この錐を経由して一意に分解されることをいう。任意の J-型図式が C 内に極限を持つとき、図式を極限にうつす関手

lim: C^J → C

が得られる。

双対として、図式 D の余極限は D からの普遍錐である。任意の J-型図式が余極限を持つとき、図式を余極限にうつす関手

colim: C^J → C

が得られる。

可換図式

図式や関手圏を可換図式の形で可視化することがよくあり、とくに、添え字圏がほとんど要素のない有限な半順序の場合に行われる。次の手順で可換図式を描く。添え字圏の各対象に対して節点を書く。各射については矢印を書くが、恒等射や他の射の合成で表せるものは省略する。可換性は圏が半順序であり、2つの対象の間の射が一意であることと対応している。逆にすべての可換図式はこの方法で図式(半順序である添え字圏からの関手)によって表現できる。

全ての添え字圏が半順序ではないことから、全ての図式も可換ではない。もっとも簡単な例として、1つの対象と1つの自己射 $f\colon X\to X$ からなる図式や、2つの平行射( $\bullet \rightrightarrows \bullet$; $f,g\colon X\to Y$)を持つ図式は必ずしも可換ではない。さらに、無限の場合は描くことは不可能であるし、対象や射が多すぎる場合は非常に面倒になる。この場合でも、可換図式のパターンを(添え字圏の部分圏や「…」などを利用して)描くことによって複雑な図式を理解しやすくすることができる。

関連項目

• 可換図式
• 帰納極限
• 射影極限

参考文献

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf  Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).
• Barr, Michael; Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories. ISBN 0-387-96115-1. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf  Revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
• diagram in nLab

外部リンク

• Diagram Chasing at MathWorld
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, commutative diagrams, categories, functors, natural transformations.

Weblio日本語例文用例辞書

「図式 (圏論)」の例文・使い方・用例・文例

• 彼はスタッフの業績を図式化することを計画した。
• これらの図式は求職に関する様々なアプローチを示している。
• 図式法, グラフ法.
• 指図式小切手
• 指図式約束手形
• 図式的に概説されている
• いくつかの芸術形式が幾何学的なパターンにデザインを図式化する
• 化学者は一貫した方法で様々な反応を図式化した
• スケッチかデザインか線によって図式化される
• 地球の表面（あるいはその一部）の図式的な表示
• 明かりが目に差し込む時に生じる網膜の電気的活動の図式記録
• 物事の概念を図式化して表した図
• 再生産表式という図式
• 指図式証券において,振出人が裏書を禁止をすること
• 指図式証券によって発生する債権
• 有価証券において,指図式という権利移転方式
• 指し図式証券という有価証券
• 指し図式証券において,債権者が指定した弁済の受領者
• コンピューターで,プログラムの作成手順を記号により図式化したもの
• 作業工程の手順を図式化した,流れ作業図