関手としての図式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/24 15:52 UTC 版)
詳細は「図式 (圏論)」を参照 圏 C における可換図式は添え字圏 J から C への関手として解釈することができる： その関手を図式 (diagram) と呼ぶ。 よりフォーマルに、可換図式は 半順序圏によって添え字図けられた図式の視覚化である： 添え字圏のすべての対象に対してノードを描き、 射の生成集合の矢を描き、恒等写像と合成として表せる射を省き、 図式の可換性（2つの対象の間の写像の異なる合成が等しいこと）は半順序圏における2つの対象の間の写像の一意性に対応する。 逆に、可換図式が与えられると、それは半順序圏を定義する： 対象はノードであり、 2つの対象の間に射があることとノードの間に（向き付けられた）道があることが同値であり、 この射は一意である（写像の任意の合成はそのドメインとターゲットによって定義される：これは可換性の公理である）という関係をもつ。 しかしながら、すべての図式が交換するわけではない（図式の概念は可換図式を真に一般化する）：最も単純には、自己準同型 ( f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} ) をもったただ1つの対象の図式、あるいはイコライザの定義において用いられるように2つの平行する矢 ( ∙ ⇉ ∙ {\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet } , つまり、 f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} , ときどき 自由箙と呼ばれる）からなる図式は、交換する必要はない。さらに、図式は対象や射の数が大きい（あるいは無限！）のときはぐちゃぐちゃあるいは描くのが不可能かもしれない。
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