関手の表現としての極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)
「極限 (圏論)」の記事における「関手の表現としての極限」の解説
圏Cにおける極限や余極限はHom関手によって集合の圏Setにおける極限と関連付けることができる。このことは、部分的には、共変Hom関手Hom(N, –) : C → SetがCにおける極限を保存することから導かれる。双対性により、反変Hom関手は余極限を極限に写す。 図式F : J → CがCに極限 lim F を持つとすると、標準同型（英語版） H o m ( N , l i m F ) ≅ l i m H o m ( N , F − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (N,\mathrm {lim} F)\cong \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (N,F-)} が存在し、変数Nに関して自然である。ここで、関手Hom(N, F–)はHom関手Hom(N, –)とFの合成である。この同型は極限錐の選び方から一意に決まる。 上の関係を使うことで、CにおけるFの極限を定義することが可能である。まず、関手Hom(N, F–)の極限はNからFへのすべての錐の集合 l i m H o m ( N , F − ) = C o n e ( N , F ) . {\displaystyle \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (N,F-)=\mathrm {Cone} (N,F).} と同一視することができることが分かる。写像の族πX : Cone(N, F) → Hom(N, FX)をπX(ψ) = ψXで定めると、極限錐を得る。Cの対象Lと自然同型Φ : Hom(–, L) → Cone(–, F)に対して、Lは極限錐がΦL(idL)であるFの極限である。格好良く書くと、Fの極限は関手Cone(–, F) : C → Setの表現であるということになる。 双対的に、図式F : J → CがCに余極限colim Fを持つとすると、標準同型 H o m ( c o l i m F , N ) ≅ l i m H o m ( F − , N ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {colim} F,N)\cong \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (F-,N)} が存在し、変数Nに関して自然であり、余極限錐の選択から一意に決まる。Hom(F–, N)の極限と集合Cocone(F, N)を同一視することにより、この関係から図式Fの余極限を関手Cocone(F, –)の表現として定義することができる。
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