関手 Extn と群のコホモロジーの形式的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 10:21 UTC 版)
「群のコホモロジー」の記事における「関手 Extn と群のコホモロジーの形式的な定義」の解説
G 加群を群環 Z[G] 上の加群とみると H 0 ( G , M ) = M G = Hom Z [ G ] ( Z , M ) {\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)} であることに注意する。つまり M の G 不変な元からなる部分群は Z ——これは自明な G 加群（G のすべての元が単位元として作用する）と見做す——から M への準同型からなる群と同一視される。したがって Ext 関手は Hom 関手の導来関手であるから、自然同型 H n ( G , M ) = Ext Z [ G ] n ( Z , M ) {\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)} がある。これらの Ext 群は Z の射影分解から計算することもでき、そのような分解は G のみに依存し、M には依存しないという利点がある。
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