自然変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/12 09:09 UTC 版)
自然変換（しぜんへんかん、英: natural transformation）とは、数学における「自然な同型」という概念の定式化として生まれ、その後圏および関手とともに圏論の中核を構成した数学的な対象である。圏論において自然変換は「関手の間の射」[注 1]とも表現され、圏の構造の中で関手の像を別の関手の像へ変換させる対応として定義される。
注釈
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map between functors
(Leinster 2014, p. 27, §1.3) - ^ 対象の族 {Sx}x ∈ C、{Tx}x ∈ C が関手を構成することも条件に含む
- ^ Heller (1990, p. 1260) より。文献によって C0 = C の場合のみを指すこともある (Lengyel 2002, p. 7)。
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... “natural” in that it is given simultaneously for all finite-dimensional vector spaces L.
(Eilenberg & MacLane 1945, p. 232) - ^ 定義は Awodey (2010) の p.37 および p.158 に基づく。
- ^
By the early 1940s, researchers in algebraic topology had started to use the phrase ‘natural transformation’, but only in an informal way. Two mathematicians, Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane, saw that a precise definition was needed.
(Leinster 2014, p. 9) - ^ Mac Lane (1998, p. 43, Ⅱ.5)、訳書版では p.54。Leinster (2014, p. 38)、Riehl (2016, p. 46, Lemma 1.7.7) にも記載あり。
- ^ 例えば Johnson & Yau (2021) などでは Cat を2-圏として例示している (Example 2.3.14)。
- ^ ここでは、記法は全てLawvere (1963) のものに準拠している。例えば Adámek, Rosický & Vitale (2010)では代数理論の射の向きは反転しており、型 の代数は共変関手 として定義されている。
出典
- ^ Mac Lane 1998, p. 16
- ^ Heller 1990, p. 1260
- ^ Eilenberg & MacLane 1945, pp. 251–252
- ^ Awodey 2010, pp. 163–164, Example 7.8
- ^ Riehl 2016, p. 18, Example 1.3.7 (ⅲ)
- ^ Riehl 2016, p. 25, Example 1.4.3 (ⅴ)
- ^ 名称は平井 2013 (p.129) による。
- ^ Eilenberg & MacLane 1942a, p. 768, Theorem 7.1
- ^ Eilenberg & MacLane 1942a, p. 770
- ^ Eilenberg & MacLane 1942a, p. 772
- ^ Eilenberg & MacLane 1942a, p. 777, Theorem 12.1
- ^ Awodey 2010, p. 37
- ^ Awodey 2010, p. 63
- ^ Eilenberg & MacLane 1945, pp. 233–234
- ^ Eilenberg & MacLane 1942b, p. 537
- ^ Awodey 2010, p. 2
- ^ Riehl 2016, p. 50
- ^ Mac Lane (2012), p.ⅶ (初版への序)、およびⅩ.7節タイトル。
- ^ Centazzo & Vitale 2003
- ^ Lawvere 1963, p. 63
- ^ Riehl 2016, p. 28
- ^ Kelly 1982, Chapter 2
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