箙 (数学)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/08 05:02 UTC 版)
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数学、特に結合代数の表現論において箙（えびら）あるいはクイバー（英: quiver）とは、多重辺とループを許す有向グラフのことである。P. Gabrielによって1972年に導入された[1]。代数的閉体上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる道代数の商代数と森田同値になる (Gabriel)。
定義
集合 V, E と写像 s, t: E → V が与えられたとき、組 Q = (V, E, s, t) を箙という[2]。このとき V の元を頂点、E の元を辺あるいは矢という。また辺 α ∈ E に対して頂点 s(α) を始点、t(α) を終点という。 (V, E) は (Q0, Q1) や (I, Ω) とも書かれ、s, t は out, in とも書かれる。
頂点集合 V と辺集合 E が共に有限集合のとき、箙 Q は有限であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は局所有限であるという。
辺の列 α1, …, αn ∈ E が条件 t(αi) = s(αi + 1) (1 ≤ i < n) を満たすとき、辺の列 α1, …, αn を道という。このとき n ≥ 1 を道の長さ、頂点 a = s(α1) を道の始点、b = t(αn) を道の終点という。この道を記号で以下のように表す。
この節の加筆が望まれています。箙 (I, Ω) の表現とは，I-次数付きベクトル空間 (Vi)i ∈ I と線型写像 (φα: Vout(α) → Vin(α))α ∈ Ω の組である．
この表現 V が有限次元であるとは，各ベクトル空間が有限次元であることであり，このときその次元ベクトル dim V とは (dim Vi)i ∈ I のことである。
2つの表現の間の射は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体はアーベル圏をなす。
とくに oriented cycle をもたない有限な箙については，その単純加群、直既約射影加群、直既約移入加群が極めて容易に分類できる。
有限群と群環の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。
有限次元代数の表現論との関係
有限な箙 Q のすべての辺から生成される道代数 kQ の両側イデアルを R とおく。このとき、道代数 kQ の両側イデアル I が認容的（英: admissible）であるとは、
となる自然数 m ≥ 2 が存在することをいう[5]。
代数的閉体 k 上の任意の有限次元代数 A に対して、有限な箙 Q とその道代数 kQ の認容的イデアル I が存在して、有限次元代数 A は商代数 kQ/I と森田同値である[6]。
ガブリエルの定理
詳細は「ガブリエルの定理」を参照ガブリエルの定理は、有限な箙の表現とディンキン図形とを結びつける[7]。
脚注
- ^ Gabriel, Peter (1972), “Unzerlegbare Darstellungen. I”, Manuscripta Mathematica 6 (1): 71–103, doi:10.1007/BF01298413, ISSN 0025-2611, MR0332887
- ^ Assem et al. 2006, p. 41.
- ^ Assem et al. 2006, p. 43.
- ^ Assem et al. 2006, p. 52.
- ^ Assem et al. 2006, p. 53.
- ^ Zimmermann 2014, p. 414.
- ^ Assem et al. 2006, p. 291, 5.10. Theorem.
参考文献
- Assem, Ibrahim; Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej (2006). Elements of the Representation Theory of Associative Algebras 1. Techniques of Representation Theory. London Mathematical Society student texts. 65. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58423-X. MR2197389. Zbl 1092.16001
- Zimmermann, Alexander (2014). Representation Theory: A Homological Algebra Point of View. Algebra and applications. Springer. ISBN 978-3-319-07967-7. MR3289041. Zbl 1306.20001
関連項目
- アウスランダー・ライテン理論
- 傾理論
- 箙多様体
- リンゲル・ホール代数
- preprojective algebra
外部リンク
- Ringel, C.M. (2001), "Quiver", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
- 箙について（中島啓）
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