圏論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 00:47 UTC 版)
圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグ と ソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。
- ^ Maclane, Saunders; S.マックレーン. (2012). Kenron no kiso. Hiroyuki Miyoshi, Osamu Takaki, 三好 博之., 高木 理.. Tōkyō: Maruzenshuppan. ISBN 978-4-621-06324-8. OCLC 809499549
- ^ Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1942). “Group Extensions and Homology”. Annals of Mathematics 43 (4): 757–831. doi:10.2307/1968966. ISSN 0003-486X.
- ^ Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945). “General Theory of Natural Equivalences”. Transactions of the American Mathematical Society 58 (2): 231–294. doi:10.2307/1990284. ISSN 0002-9947.
- ^ a b Leinster, Tom (2014). Basic category theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-36006-8. OCLC 886649936
圏論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/10 20:21 UTC 版)
集合と部分写像の圏は基点付き集合と基点を保つ写像の圏に圏同値だが圏同型（英語版）でない。 集合と部分全単射の圏は自身の双対に同値である。これは可逆圏（英語版）の原型例である。
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圏論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
随伴の列。関手π0を各圏にその連結成分を与える関手とすると、これは各集合に離散圏を割り当てる関手Dの左随伴である。さらに、Dは圏に対象集合を割り当てる対象関手Uの左随伴である。最後に、Uは各集合にindiscrete圏を割り当てる関手の左随伴である。 指数対象。デカルト閉圏において–×Aで定まる自己関手C → Cは右随伴–Aを持つ。
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圏論
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より一般化された意味での「代数」の概念が圏論（あるいは理論計算機科学）で用いられる: F代数/F余代数 このページは数学の曖昧さ回避のためのページです。一つの語句が複数の意味・職能を有する場合の水先案内のために、異なる用法を一覧にしてあります。お探しの用語に一番近い記事を選んで下さい。このページへリンクしているページを見つけたら、リンクを適切な項目に張り替えて下さい。
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圏論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/01 20:51 UTC 版)
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。これは上記の上部構造に類似している。グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。 最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。 グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。 集合論的トポス
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圏論
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集合の圏における圏論的な直積 A × B は、第一成分が A に属し、第二成分が B に属する順序対全体の成す集合を表現する。この文脈では上で述べた順序対の特徴づけは、直積の普遍性と集合 X の元が（ある一元集合）1 から X への射と同一視されるという事実とからの帰結である。別の対象が同じ普遍性を持つかもしれないが、それらはすべて自然同型である。
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圏論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 09:32 UTC 版)
詳細は「極限 (圏論)」を参照 圏 C における図式を「添字圏」 J から C への関手と見なすことにする。特定の図式に対応する関手が与えられたとき、C の対象 X と射の族 (φi: X → Fi)i∈Obj(J) に対して次のような条件を考えることができる： J の任意の射 j について F(j) φi0 = φi1 が成り立つ。ここで i0 = dom j、i1 = ran j である。 C の任意の対象 Y と射の族 (φi: X → Fi)i∈Obj(J) で、1. と同様の条件を満たすものについて射 g: Y → X で φi g = ψi (i ∈ Obj(J))を満たすものが一意的に存在する。 このような条件を満たす X（と族 φi）のことを F が表す図式の極限（あるいは射影極限、逆極限）と呼ぶ。極限の満たす普遍性により、それぞれの図式に対する極限は（あったとして）自然な同型をのぞき一意に定まる。 極限の典型的な例として、対象の族 (Xi)i∈I の直積 ∏i< Xi や二つの射 f, g: X → Y の等化射が挙げられる。特定の形 J の図式について必ず C における極限が存在するとき、図式から極限への対応は図式圏 CJ への対角関手 ⊿ C → CJ に対する右随伴関手としてとらえることができる。 この双対概念は余極限（あるいは帰納極限や順極限）と呼ばれる。 「有向集合」も参照
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