米田の補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/10/12 05:22 UTC 版)
米田の補題(よねだのほだい、英: Yoneda lemma)とは、局所小圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。
米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」[1]「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」[2]と言われている。
語源
「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた[3][4][5]。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという[6]。ただし、エミリー・リールによれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である[7]。
概要
主張の内容
C を局所小圏とする。すなわち C の各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象 A を固定するとき、共変hom関手 HA = hom(A, _) : C → Set は対象 X に対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : X → Y に対して写像 hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) → hom(A, Y) を割り当てる関手であった。
ここで、 F : C → Set を集合値関手としたとき、HA から F への自然変換は集合 F(A) の要素と1対1対応する、という主張が米田の補題である。すなわち、米田の補題は HA から F への自然変換の全体が集合 Nat(HA, F) と書けて、米田写像(Yoneda map)と呼ばれる全単射
有限の極限を持つ圏 C 上の前層(英語: presheaf)とは C からの反変関手 P : Cop → Set のことであり、このとき前層の圏を = SetCop で表す。圏 の部分対象分類子(英語: subobject classifier)とは、(存在するならば) の対象 Ω とモノ射 true : 1 → Ω (1は終対象) であって、任意のモノ射 j : U → X に対して、χj ◦ j = true かつその可換図式が引き戻しとなるような カテゴリ
米田の補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/05/07 22:24 UTC 版)
詳細は「米田の補題」を参照 X を局所的に小さい圏 C の対象とすると、対応 Y ↦ HomC(X, Y) から共変函手 FX: C → Set が定まる。この函手は 表現可能函手と呼ばれる(より一般に、適当に選んだ X に対してこの函手と自然同型な任意の函手を表現可能函手と呼ぶ)。表現可能函手から任意の函手 F: C → Set への自然変換は完全にわかっており、容易に記述できる(米田の補題)。
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