表現可能関手による定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 01:19 UTC 版)
エミリー・リール（Emily Riehl）は『Category Theory in Context』において、圏 C の対象 c に対する普遍性（英: universal property）を次のように定義している： 定義 圏 C の対象 c の普遍性は、表現可能関手 F: C → Set と、米田の補題を通して自然同型 C(c, _) ≅ F（または C(_, c) ≅ F）を定める普遍要素（英: universal element）x ∊ Fc によって表現されるものである。（ここで Set とは集合の圏のことである。） 定義を言い換えると、c ∊ C の普遍性とは、(表現可能)関手 F: C → Set と x ∊ Fc を用いて米田の補題から定まる自然変換 C(c, _) → F が自然同型であるという性質のことである。 圏 C が小さなhom集合を持つ（各対象 x, y について C(x, y) ∊ Set である）とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である。
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