圏の完備化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/30 09:26 UTC 版)
C を局所的に小さな圏とする。C から関手圏 SetC への関手 h(_) : Cop → SetC （対象関数） hA = hom(A, _) 共変hom関手 （射関数） hf op : B → A = hom(A, _) → ˙ {\displaystyle {\dot {\rightarrow }}} hom(B, _) 共変hom関手間の自然変換 をグロタンディーク関手（Grothendieck functor）と呼ぶ。 ここで、共変hom関手の間の自然変換について y : Nat(hA, hB) ≃ hB(A) = homC(B, A) が、米田の補題から成り立つ。ここで、関手圏の射が自然変換であったことから Nat(hA, hB) = homSetC(hA, hB) とhom集合で書きなおすことができ、C のhom集合と SetC のhom集合との間に全単射 homC(B, A) ≃ homSetC(hA, hB) が存在することがわかる。すなわち、グロタンディーク関手 h は充満忠実である。
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