米田の補題

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米田の補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/17 14:44 UTC 版)

米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという。ただし、エミリー・リールによれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である。

米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」と言われている。

概要

主張の内容

C を局所的に小さい（locally small）圏とする。すなわち C の各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象 A を固定するとき、共変hom関手 H^A = hom(A, _) : C → Set は対象 X に対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : X → Y に対して写像 hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) → hom(A, Y) を割り当てる関手であった。さらに、 F : C → Set を集合値関手とし、H^A から F へのすべての自然変換のクラス Nat(H^A, F) について考える。

このとき、米田写像（Yoneda map）と呼ばれる全単射

$$y:\mathop {\mathrm {Nat} } (H^{A},F)\cong F(A)$$

部分対象分類子の可換図式

有限の極限を持つ圏 C 上の前層（英語: presheaf）とは C からの反変関手 P : C^op → Set のことであり、このとき前層の圏を ˆC = Set^Cop で表す。圏 ˆC の部分対象分類子（英語: subobject classifier）とは、(存在するならば) ˆC の対象 Ω とモノ射 true : 1 → Ω (1は終対象) であって、任意のモノ射 j : U → X に対して、χ_j ◦ j = true かつその可換図式が引き戻しとなるような ${\textstyle \chi _{j}:X\to \Omega }$ カテゴリ