他の圏との関係

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他の圏との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/19 22:29 UTC 版)

「距離空間の圏」の記事における「他の圏との関係」の解説

各距離空間を距離構造を忘れてその台となる点集合と見なし、かつ非拡大写像を単に写像と見なすことにより、集合の圏への忘却函手（英語版） U: Met → Set が得られる。この函手 U は忠実函手となり、したがって Met は具体圏（英語版）である。 さて本項にいう距離空間の圏 Met は単にすべての距離空間を対象とする圏というだけのものではない。すべての距離空間を対象とする圏には、連続写像を射とする圏（これは位相空間の圏の充満部分圏）や一様連続写像を射とする圏（これは一様空間の圏（英語版）の充満部分圏）あるいはリプシッツ連続写像や準リプシッツ写像 (quasi-Lipschitz mapping) を射とする圏などが挙げられる。非拡大写像は一様連続かつ（リプシッツ定数高々 1 の）リプシッツ連続である。

他の圏との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 16:09 UTC 版)

「群の圏」の記事における「他の圏との関係」の解説

Set を集合の圏、Mon をモノイドの圏として、群の圏 Grp からの二種類の忘却函手（英語版） M: Grp → Mon（群から可逆構造を忘れたモノイドを対応させる函手）および U: Grp → Set（群からその台集合を取り出す函手）を考えよう。 このうち M は二つの随伴函手を持つ。それは、右随伴 I: Mon → Grp と左随伴 K: Mon → Grp だが、具体的に I: Mon → Grp は各モノイドにその可逆元全体の成す部分モノイドを対応させる函手であり、また K: Mon → Grp は各モノイドにそのグロタンディーク群を対応させる函手である。 もう一方の忘却函手 U: Grp → Set は左随伴として各集合にそれが生成する自由群を対応させる自由函手を持つ。各集合にそれが生成する自由モノイドを対応させる自由函手を F とすれば、U の左随伴は合成函手 KF: Set → Mon → Grp に等しい。