具体圏として

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具体圏として

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/14 21:22 UTC 版)

「位相線型空間の圏」の記事における「具体圏として」の解説

御多分に漏れず、位相線型空間の圏 TVect は具体圏（英語版） である。それはつまり、対象は集合に追加の構造（いまの場合、線型構造と位相）を入れたものであり、射はそれら構造を保つ写像であるということを意味する。すると明らかに、TVect から位相空間の圏 Top, 線型空間の圏 Vect, 集合の圏 Set のそれぞれへの忘却函手（英語版）があることがわかる。

具体圏として

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/14 21:20 UTC 版)

「位相空間の圏」の記事における「具体圏として」の解説

よく知られた圏の御多分に漏れず、位相空間の圏 Top は具体圏（英語版）である（すなわち、対象が集合に構造（今の場合位相）を入れたものによって与えられ、なおかつ射はその構造を保つ写像となっている）。従って、集合の圏への自然な忘却函手（英語版） U: Top → Set が、各位相空間にその台集合を対応させ、各連続写像に台となる写像を対応させるものとして存在する。 この忘却函手 U は左随伴 D: Set → Top として各集合に離散位相を入れる（このとき任意の写像は離散空間上定義されることから自動的に連続になる）函手を持ち、また右随伴 I: Set → Top は各集合の密着位相を入れる（このとき密着空間値の写像は必ず連続になる）函手で与えられる。実は両函手とも U の右逆である（すなわち UD と UI はともに Set の恒等函手に等しい）。さらに言えば、離散空間の間の写像あるいは密着空間の間の写像は必ず連続となるから、両函手とも Set から Top への充満埋め込み（英語版）を与える。 具体圏としての Top はファイバー完備、すなわち与えられた集合 X 上に可能な位相すべての成す圏（英語版）（X の上にある U のファイバーと呼ぶ）は包含関係を順序として完備束を成す。このファイバーの最大元は X 上の離散位相であり、最小元は密着位相である。 具体圏としての Top は位相圏（英語版）と呼ばれるところのもののモデルである。位相圏は任意の構造化された始域 (structured source) (X → UAi)I が一意な始持ち上げ (initial lift) (A → Ai)I を持つという事実によって特徴づけられる。Top において始持ち上げは、始域に始位相（英語版）を入れることで得られる。位相圏は多くの性質（例えばファイバー完備、離散函手および密着函手、極限の一意な持ち上げなど）を Top と共有している。

具体圏として

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/24 02:29 UTC 版)

「多様体の圏」の記事における「具体圏として」の解説

御多分に漏れず、多様体の圏 Manp は具体圏（英語版）である。すなわち対象は集合に構造を加えたもの（いまの場合は位相とCp-級可微分構造を定めるチャートの成すアトラスの同値類）であり、かつ射はその構造を保つ写像になっている。可微分構造を忘れることにより、各多様体にその台となる位相空間を対応させ、可微分写像を台となる連続写像に対応させる位相空間の圏への自然な忘却函手（英語版） U: Manp → Top が得られる。同様に集合の圏への自然な忘却函手 U′: Manp → Set が、各多様体を単にその台となる集合と見て、可微分写像を単に写像と見ることで与えられる。

具体圏として

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:41 UTC 版)

「環の圏」の記事における「具体圏として」の解説

環の圏 Ring は具体圏（英語版）、すなわちその対象は集合に追加の構造（いまの場合、加法と乗法）を入れたものであり、その射はそれら構造を保つ写像である。環の圏から集合の圏への自然な忘却函手（英語版） U: Ring → Set が、各環をその台となる集合へ写すことによって（つまり、加法と乗法という演算を「忘れる」ことによって）与えられる。この忘却函手の左随伴 F: Set → Ring は各集合 X に X の生成する自由環を対応させる自由函手である。 環の圏を、アーベル群の圏 Ab 上の、あるいはモノイドの圏 Mon 上の具体圏と見ることもできる。具体的に、乗法あるいは加法をそれぞれ忘れることによって、二つの忘却函手 A: Ring → Ab および M: Ring → Mon が得られる（つまりA は環の加法群を取り出す函手、M は環の吸収元付き乗法モノイドを取り出す函手である）。この二つはいずれも左随伴を持つ。A の左随伴は、任意のアーベル群 X に対し（それを Z-加群と見て）テンソル環 T(X) を割り当てる函手である。また M の左随伴は、任意のモノイド G に整係数モノイド環 Z[G] が対応する。