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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/09/10 08:01 UTC 版)
もとの群は半直積群に埋め込まれる。 つまり、ふたつの単射準同型写像 N → N ⋊ H と H → N ⋊ H がある。 さらに N の単射準同型像は N ⋊ H の正規部分群で、その剰余群は H と同型である。
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/11 09:20 UTC 版)
口語的に言うと、1 ≤ p < q ≤ ∞ であるなら、Lp(S, μ) はより局所特異的な函数を含むものであるし、Lq(S, μ) の元はより拡大されたものである。半直線 (0, ∞) 上のルベーグ測度を考える。L1 に属する連続関数は 0 の近くで爆発するかも知れないが、無限大に向かって十分早く減衰するものである必要がある。一方、L∞ に属する連続函数は必ずしも減衰する必要はないが、爆発することは許されない。そのことを正確に述べたのが、次の技術的結果である： 0 ≤ p < q ≤ ∞ とする。Lq(S, μ) が Lp(S, μ) に含まれるための必要十分条件は、S が任意に大きい測度の集合を含まないことである。 0 ≤ p < q ≤ ∞ とする。Lp(S, μ) が Lq(S, μ) に含まれるための必要十分条件は、S が任意に小さい非ゼロ測度の集合を含まないことである。 特に、その領域 S が有限測度を持つなら、（イェンゼンの不等式による）評価式 ‖ f ‖ p ≤ μ ( S ) 1 p − 1 q ‖ f ‖ q {\displaystyle \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\|f\|_{q}} は、空間 Lq が Lp への連続的埋め込みであることを意味する。すなわち、恒等作用素は Lq から Lp への有界線型写像である。上の評価式に現れる定数は、恒等作用素 I : Lq(S, μ) → Lp(S, μ) の作用素ノルムがちょうど ‖ I ‖ q , p = μ ( S ) 1 p − 1 q {\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}} であるという意味で、最適なものである。上の評価式の等号は、f = 1 がほとんど全ての [μ] で成り立つ時に成立する。
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:56 UTC 版)
ピーターセングラフは平面グラフではない。一般に非平面グラフなら、マイナーとして K 5 {\displaystyle K_{5}} の完全グラフか K 3 , 3 {\displaystyle K_{3,3}} の完全2部グラフがあるが、ピーターセングラフでは両方同時にマイナーとして持つ。 K 5 {\displaystyle K_{5}} マイナーは、完全マッチングの辺を縮約することで形成され、一番上の図で言えば、短い辺を縮約すればよい。 K 3 , 3 {\displaystyle K_{3,3}} マイナーは、1つの頂点を削除し（例えば、3回対称の図の中央の頂点）、削除した頂点と隣接していた頂点に付随する辺を縮約することで形成される。 最も典型的なピーターセングラフの描き方は、正五角形の中に五芒星形を描く描き方だが、これでは5箇所で辺が交差する。しかし、もっと交差を少なくする描き方もある。右には交差が2つしかない図も示している。これが最小なので、ピーターセングラフの交叉数（英語版）は2である。トーラス上では全く交差させずにピーターセングラフを描ける。つまり、向きのある種数が1である。 ピーターセングラフは（交差はあるが）平面上で全ての辺が同じ長さとなるよう描ける。すなわち、単位距離グラフである。 ピーターセングラフを交差なしに埋め込める最も単純な向き付け不能曲面は、射影平面である。これはピーターセングラフを半十二面体で構築する際に得られる埋め込みである。射影平面埋め込みは、通常のピーターセングラフの中心にクロスキャップを置き、五芒星の辺をクロスキャップに沿わせることでも得られる。この場合、6個の五角形の面が現れる。以上からピーターセングラフは向きのない種数も1である。
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 01:00 UTC 版)
代数系つまり代数的構造をもつ二つの集合 A, B の間の準同型 f の像 f(A) は B の部分系となる。もし、f: A → B が単射ならば、終域の制限によって得られる写像 f: A → f(A) は全単射となるから、その逆写像が定まる。これがやはり準同型であるなら、これは A が B の部分系と同型となることを意味する。この同型を同一視することによって A がもともと B の部分系であるかのように扱うとき、埋め込み (embedding) と呼ぶ。群・環などの準同型は全単射ならば同型であるから、単射準同型を与えることと埋め込みを考えることとは等価である。もっと一般の数学的構造とそれらの間の準同型・射を考えるときには逆写像の準同型性を気にする必要がある。例えば位相空間の間の全単射連続写像は同相写像とは限らない（逆写像が連続とは限らない）。 A から B への埋め込みは一般には一つに定まるとは限らない。例えば、A がはじめから B の部分系であるとき、包含写像はひとつの埋め込みを与えるが、それ以外の写像によって A が B に埋め込まれることもある。
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