半直積

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半直積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/27 17:21 UTC 版)

群論において、群の半直積（はんちょくせき、英: semidirect product）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。 群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。

定義

内部半直積

ふたつの群 N, H に対して N の H による内部半直積とは、次の性質を満たす群 G のことで、 G = N ⋊ H と表す。

• N は群 G の正規部分群かつ H は群 G の部分群であって、G = NH を満たす
• N と H は自明な共通部分をもつ：N ∩ H = 1

G を群とし、H をその部分群、N を正規部分群 (N ◁ G) とすると、以下は同値である。

• G = NH かつ N ∩ H = 1.
• G のすべての元は積 nh (n ∈ N, h ∈ H) として一意的に書ける。
• G のすべての元は積 hn (h ∈ H, n ∈ N) として一意的に書ける。
• 自然な埋め込み H → G を自然な射影 G → G / N と合成すると、H と商群 G / N の間の同型写像となる。
• H 上恒等写像で核が N の群準同型 G → H が存在する。

外部半直積

G を正規部分群 N と部分群 H の（内部）半直積であるとする。Aut(N) を N のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像 φ: H → Aut(N) は群準同型である。φ(h) = φ_h, ただしすべての h ∈ H と n ∈ N に対し、φ_h(n) = hnh⁻¹．（N は G の正規部分群であるから hnh⁻¹∈N であることに注意。）N, H, φ の三つ組は以下で示すように G を同型の違いを除いて決定する。

2つの群 N と H（与えられた群の部分群である必要はない）と群準同型 φ: H → Aut(N) が与えられると、次のように定義される、φ に関する N と H の（外部）半直積と呼ばれる新しい群 $N\rtimes _{\varphi }H$