力学系

ウィキペディア

力学系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/05/09 14:18 UTC 版)

力学系（りきがくけい、英語: dynamical system）とは、ある法則に従って前の状態から後の状態が決まるように、対象とする状態が時間発展する系の数学的モデルである。あるいは、そのようなモデルを扱う数学の一分野でもある。力学系を扱う分野や理論全体を指して力学系理論（りきがくけいりろん、英語: dynamical system theory）という呼び方もする。

力学系の始まりは、ニュートン力学において記述される常微分方程式の解の研究に端を発する。力学系という名称自体は英語の dynamical system の翻訳だが、力学系という訳語は、こういったように力学の研究から力学系が生まれたことを背景とする。現在でも物理学としての力学は力学系の重要な例だが、現在の力学系は力学から独立した一つの数学を成している。力学系理論の対象は力学に限定されず、その範囲は極めて広い。自然科学や社会科学の実現象を数理モデル化して力学系として調べることもあるし、完全に抽象的な力学系を構成して調べることもある。

力学系に似た言葉として、物理学では動力学（どうりきがく）、生物学や生命科学ではダイナミクスという言葉も使われる。それぞれの用語の意味は、完全には合致しないものの、物事が時間と共に変化する様子の記述という点においては軌を一にする。ゲーム理論など経済学に背景を持つ分野では動学系（どうがくけい）とも呼ばれる。

力学系の成り立ち

アンリ・ポアンカレ（1854-1912）

現代的な力学系の理論は、フランスのアンリ・ポアンカレによって19世紀末頃に創始された。さらに遡ること17世紀、イギリスのアイザック・ニュートンは『プリンキピア』を著し、物体の運動法則を述べてニュートン力学を構築した。ニュートン力学にもとづき、物体の運動は常微分方程式によって表現される。ニュートンは、太陽のまわりの地球の運動を二体問題として解いて完全に解決した。その後、多くの物理学者や数学者たちが、これを三体問題あるいは多体問題へ拡張し、解決を試みた。しかし、三体問題は二体問題と比較してはるかに解くのが困難で、長年の努力の末に、何らかの数式で明示するという意味で三体問題を解くことは本質的に不可能であることが明らかとなった。

三体問題の数値計算例

三体問題に限らず、微分方程式の解を求めること――すなわち解を独立変数の既知関数として表すこと――は大抵の微分方程式でできない。特に微分方程式が非線形のときには、ほとんどの場合で不可能である。三体問題の研究を通じ、この問題を深く認識したポアンカレは、微分方程式を解析的に解く定量的方法の代わりに、微分方程式の解の挙動を定性的に研究する方法を生み出した。言い換えると、解自体の記述を得ることを主眼とするそれまでの研究から、解けない微分方程式を解けないままにしながらその解の重要な性質を探求する研究へと、発想の転換を主導した。このような研究を、ポアンカレは微分方程式の定性的理論と呼んだ。1881年の論文 Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle（微分方程式によって定義される曲線についての研究論文）にて、ポアンカレは以下のように述べている

さらにまた、この定性的研究自体はそれ自身としてきわめて興味ある問題である。事実、解析学や力学におけるきわめて重要な問題がこれに帰着できる。三体問題を例にとってみよう。たとえば天体の一つがつねに有限の天空内の領域にとどまっているだろうか、それとも無限に遠ざかっていくだろうか？　二つの天体の距離が限りなく増大したり減少したりするだろうか、それとも、いつもある限界の間にとどまっているだろうか？　このような問題が考えられるのではないか。そしてこの種の、三つの天体の軌道を定性的に追跡することができれば完全に解けてしまうような問題は、まだいくらでも提出できるのではないだろうか。 — アンリ・ポアンカレ、Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle

定性的理論を展開するために、ポアンカレは位相的な手法を縦横に利用した。位相幾何学もまた、ポアンカレのこの研究の中から誕生していった。微分方程式の定性的理論は現在の力学系理論の基礎となり、ポアンカレは力学系理論の創始者となった。

ポアンカレの後、微分方程式の定性的理論は米国のジョージ・デビット・バーコフや帝政ロシアのアレクサンドル・リアプノフへと引き継がれ、20世紀以降大きな発展を遂げる。バーコフの研究がまとめられた著書は、Dynamical Systems（力学系）という名で1921年に発行された。バーコフも、ポアンカレ同様に微分方程式から定義される力学系を見ていたが、一方で、微分方程式で起こる複雑な挙動を理解する方法として写像の反復で定義される力学系についても研究・強調した。また、バーコフは、微分方程式の解の性質から位相的性質を調べる上で必要なもののみを抜き出して、もはや微分方程式の存在を前提としないような抽象的な力学系の概念を作り上げた。これにより、微分方程式から独り立ちした力学系理論の基礎が形成された。

定義

力学系は、

• 時間
• 相空間（あるいは状態空間）
• 時間発展の法則

の3つから成る。ここでの時間とは、物理的な系を扱うときなどは文字通り時間の意味だが、数学的には単にパラメータである。相空間あるいは状態空間は、何らかの変数で系の状態を表し、系が取り得る全ての状態から成る集合である。相空間内の1点を指定することで、系の状態が一意に定まる 。時間発展の法則は、時間と共に状態がどのように変化するかを決めるものであり、普通は決定論的な（ある状態から次の状態が一意に決まるような）法則を与える。

より数学的には、力学系は、群または半群 G の空間 X への群作用 ϕ : G × X → X として定義される。G が時間、X が相空間、ϕ が時間発展の法則に対応する。各 t ∈ G に対して t を固定した写像 ϕ^t : X → X を、ϕ^t(x) = ϕ (t, x)（ただし x ∈ X）と定義する。ϕ^t は、任意の t, s ∈ G および単位元 0 ∈ G について群作用の性質から、

$\phi ^{t+s}=\phi ^{t}\circ \phi ^{s}$

連続力学系の軌道の様子

離散力学系の軌道の様子

力学系は、時間を連続的に考える場合と離散的に考える場合に大別される。連続的に考える場合は時間を実数で考え、そのような力学系を連続力学系と呼ぶ。あるいは、連続時間の力学系や連続時間力学系とも呼ばれる。離散的に考える場合は時間を整数または自然数で考え、そのような力学系を離散力学系と呼ぶ。あるいは、離散時間の力学系や離散時間力学系とも呼ばれる。

連続力学系の場合、常微分方程式あるいはベクトル場によって与えられるのが典型的である。 相空間を ℝ^m として、独立変数 t ∈ ℝ と従属変数 x ∈ ℝ^m の自励系常微分方程式

${\frac {dx}{dt}}=f(x)$

複素平面上のマンデルブロ集合

複素関数によって定まる力学系を複素力学系という。特に正則関数または有理型関数 f を扱い、それらの n 回反復合成 f ⁿで定義される。離散力学系かつ微分可能力学系の一種だが、複素力学系では複素関数論が主要な理論的道具として用立てられる。フラクタルを生成する代表例としても知られる。

複素力学系は、歴史的には1920年代のガストン・ジュリアとピエール・ファトゥの研究に始まる。彼らの名を冠するジュリア集合とファトゥ集合は、複素力学系の最も基礎的な不変集合である。コンピュータが発達した1980年代には、ブノワ・マンデルブロによってマンデルブロ集合が発見された。マンデルブロ集合の魅力的な画像がジュリアとファトゥの仕事への興味を改めて呼び起こし、エイドリアン・ドゥアディ、ジョン・ハバード、デニス・サリヴァンなどの数学的成果が続いた。

記号力学系

a, b, c,… や 1, 2, 3,… のような記号を使って無限の列を構成し、そのような記号列の集まりである空間を想定する。このような記号列を右から左へ1つずらすような写像 σ を考える力学系を記号力学系や記号力学と呼ぶ。

記号力学系それ自体もデータストレージやデータ転送のような計算機科学とも関連性を持つ。記号力学系の高次元化も研究対象であり、2次元記号力学系は数学のタイル張り問題のワンのタイルの定式化を与える。

ハミルトン力学系

(q₁, q₂, …, q_n, p₁, p₂, …, p_n) という座標に持つ相空間 ℝ²ⁿ 上でハミルトン力学の正準方程式によって定義される力学系をハミルトン力学系またはハミルトン系と呼ぶ。ハミルトン系は、その性質からユークリッド空間 ℝ²ⁿ ではなくシンプレクティック多様体上でハミルトニアンによって定まるベクトル場として考えることもできる。ハミルトン系のポアンカレ写像または流れはシンプレクティック写像になるという意味でシンプレクティック写像がハミルトン系の離散力学系バージョンに相当し、標準写像がよく調べられている例である。実現象では、太陽系中の天体の運動が最もなじみのあるハミルトン系の例といえる。

歴史的には、ニュートン力学およびラグランジュ力学を引き継いで19世紀にウィリアム・ローワン・ハミルトンによってハミルトン力学が定式化された。その後、微分形式の発見を経て、シンプレクティック多様体上の力学系理論として現代的に定式化された。可積分なハミルトン系に摂動が加わっても、摂動が充分に小さければ元の可積分系で存在していたトーラス上の規則的な振る舞いの多くが残ることを証明したKAM定理（定理を示したアンドレイ・コルモゴロフ、ユルゲン・モーザー、ウラジーミル・アーノルドの名に因む）は、20世紀の力学系研究における重大成果の一つである。

散逸系と保存系

相空間上のある体積が時間経過に伴い常に縮小するような力学系を散逸系と呼ぶ。一方、相空間上のある体積が時間経過しても常に一定であるような力学系を保存系と呼ぶ。それぞれ散逸力学系や保存力学系とも呼ばれる。縮小に限定せずに、体積一定ではない場合を散逸系と呼ぶ場合もある。保存系は第一積分や保存量と呼ばれる時間に対して不変な実連続関数を持つことがあり、こちらの条件を満たすものを保存系と呼ぶ場合もある。

物理的な現象で言えば、摩擦がありエネルギーが減少していくような系が散逸系で、摩擦がなくエネルギーが保存されるような系が保存系である。身近な物理現象の系はおおかた散逸系に該当する。散逸系の場合、アトラクターと呼ばれる極限集合を持つのが特徴である 。対して、保存系にはアトラクターが存在しないという特質がある。

参照文献

• 齋藤 利弥、1978、「力学系の大域的理論」、『日本物理学会誌』33巻7号、日本物理学会、 doi:10.11316/butsuri1946.33.568 pp. 568–575
• 齋藤 利弥、1984、『力学系以前 ―ポアンカレを読む―』第1版、日本評論社〈数セミ・ブックス 9〉
• 齋藤 利弥、2002、『位相力学 ―常微分方程式の定性的理論―』復刊、共立出版  ISBN 4-320-01712-9
• 齋藤 利弥、2004、『力学系入門』復刊版、朝倉書店  ISBN 4-254-11722-1
• 千葉 逸人、2021、『解くための微分方程式と力学系理論』初版、現代数学社  ISBN 978-4-7687-0570-4
• 荒井 迅、2020、『常微分方程式の解法』初版、共立出版〈共立講座 数学探検 15〉  ISBN 978-4-320-11188-2
• 坂井 秀隆、2015、『常微分方程式』初版、東京大学出版会〈大学数学の入門 10〉  ISBN 978-4-13-062960-7
• 浅岡 正幸・志賀 啓成・大鹿 健一、2023、『幾何学百科Ⅲ 力学系と大域幾何』初版、朝倉書店  ISBN 978-4-254-11618-2
  • 浅岡 正幸、2023、『アノソフ系と多様体上の双曲力学系』
  • 志賀 啓成、2023、『複素力学系』
• 柴山 允瑠、2016、「重点解説 ハミルトン力学系 ―可積分系とKAM理論を中心に―」、『臨時別冊・数理科学2016年12月』（SGCライブラリ 130）、サイエンス社、 ISSN 0386-8257
• Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人（訳）、2007、『力学系入門　原著第2版 ―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版  ISBN 978-4-320-01847-1
• 青木 統夫、2004、『力学系の実解析入門』初版、共立出版〈非線形解析I〉  ISBN 4-320-01771-4
• 青木 統夫・白岩 謙一、2013、『力学系とエントロピー』復刊、共立出版  ISBN 978-4-320-11043-4
• 白石 謙一、2014、『力学系の理論』オンデマンド版、岩波書店  ISBN 978-4-00-730152-0
• Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで―』、丸善出版  ISBN 978-4-621-08580-6
• 國府 寛司、2000、『力学系の基礎』初版、朝倉書店〈カオス全書2〉  ISBN 4-254-12672-7
• C. ロビンソン、國府 寛司・柴山 健伸・岡 宏枝（訳）、2001a、『力学系 上』、シュプリンガー・フェアラーク東京  ISBN 4-431-70825-1
• C. ロビンソン、國府 寛司・柴山 健伸・岡 宏枝（訳）、2001b、『力学系 下』、シュプリンガー・フェアラーク東京  ISBN 4-431-70826-X
• Robert L. Devaney、國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史（新訂版訳）、後藤 憲一（訳）、2003、『カオス力学系入門』新訂版、共立出版  ISBN 4-320-01705-6
• ロバート・L・デバニー、上江洌 達也・重本 和泰・久保 博嗣・田崎 秀一（訳）、2007、『カオス力学系の基礎』新装版、ピアソン・エデュケーション  ISBN 978-4-89471-028-3
• Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人（訳）、2007、『力学系入門　原著第2版 ―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版  ISBN 978-4-320-01847-1
• 丹羽 敏雄、2008、『力学系』オンデマンド版、紀伊國屋書店〈紀伊國屋数学業書21〉  ISBN 978-4-320-11348-0
• 久保 泉・矢野 公一、2018、『力学系』オンデマンド版、岩波書店  ISBN 978-4-00-730742-3
• 森 真・水谷 正大、2009、『入門力学系 ―自然の振舞いを数学で読みとく―』、東京図書  ISBN 978-4-489-02050-6
• E. N Lorenz、杉山 勝・杉山 智子（訳）、1997、『ローレンツ　カオスのエッセンス』初版、共立出版  ISBN 4-320-00895-2
• 津田 一郎、2016、『脳のなかに数学を見る』オンデマンド版、共立出版〈連携する数学1〉  ISBN 978-4-320-11050-2
• S. ウィギンス、丹羽 敏雄（監訳）、今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真（訳）、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版  ISBN 978-4-621-06435-1
• Douglas Lind; Brian Marcus、鎌部 浩・藤崎 礼志（訳）、2026、『記号力学系（第2版）―基礎と符号化への応用―』第2版、森北出版  ISBN 978-4-627-85612-7
• 小室 元政、2005、『基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ―』新版、サイエンス社  ISBN 4-7819-1118-8
• 宇敷 重広、1987、『フラクタルの世界 ―入門・複素力学系―』第1版、日本評論社  ISBN 4-535-78159-1
• 木坂 正史、2013、「超越整函数のFatou集合，Julia集合の位相的性質について」、『数学』65巻3号、日本数学会、 doi:10.11429/sugaku.0653269 pp. 269–298
• 薄 良彦、2025、『クープマン解析 ―クープマン作用素による非線形ダイナミクスの解析と制御―』第1版、岩波書店  ISBN 978-4-627-09731-5
• 松葉 育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版  ISBN 978-4-627-15451-3
• 早間 慧、2002、『カオス力学の基礎』改訂2版、現代数学社  ISBN 4-7687-0282-1
• 井上 政義、1996、『やさしくわかるカオスと複雑系の科学』初版、日本実業出版社  ISBN 4-53402492-4
• 深谷 賢治、2004、『解析力学と微分形式』、岩波書店〈現代数学への入門〉  ISBN 4-00-006884-9
• 高橋 陽一郎、2004、『力学と微分方程式』初版、岩波書店〈現代数学への入門〉  ISBN 4-00-006875-X
• 森 肇・蔵本 由紀、1994、『散逸構造とカオス』、岩波書店〈岩波講座 現代の物理学 15〉  ISBN 4-00-010445-4
• G・L・ベイカー； J・P・ゴラブ、松下 貢（訳）、1992、『カオス力学入門 ―基礎とシミュレーション―』、啓学出版  ISBN 4-7665-0608-1
• 長島 弘幸・馬場 良和、1992、『カオス入門 ―現象の解析と数理―』初版、培風館  ISBN 4-563-02200-4

外部リンク

• 『力学系』 - コトバンク
• 力学系 - J-GLOBAL
• 「数学」－ 論説 12. 常微分方程式と力学系 - 日本数学会
• James Meiss (ed.). “Dynamical Systems”. Scholarpedia.
• Philip Holmes (ed.). “History of dynamical systems”. Scholarpedia.
• Weisstein, Eric W. “Dynamical System”. mathworld.wolfram.com (英語).

ウィキペディア小見出し辞書

力学系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/06 07:52 UTC 版)

「区間演算」の記事における「力学系」の解説

ウォリック・タッカーは区間演算を活用して、14番目のスメイルの問題を解決した。

Wiktionary日本語版（日本語カテゴリ）

力学系

出典:『Wiktionary』 (2021/08/21 14:07 UTC 版)

名詞

力学系（りきがくけい）

1. （物理学）ニュートン力学、量子力学、流体力学、熱力学などの力学の概念あるいは理論で捉えられる一つの系。
   • 松沢博士の教科書によると、本震と余震の関係ひとつの地震群について名付けられたもので、時間空間の広がりによって決定すべきものであるが、地震はひとつの力学系である地球内部に起る地象である以上、ふたつの地震の関係を結ぶ連成系数の大小によって相互の関連を決めるべきであるという意味のことが記してある。（箱田顕雄「四国周辺の津波史料について」）〔1962年〕^[1]
   • A01基礎班では理論的に、ゆらぎの理論を拡張し、微視的力学系から巨視的方程式を導出する新しい理論手法や、微小系の熱効率の上限、細胞内シグナル伝達のロバストさの上限を与えることに成功した。（佐野雅己「ゆらぎと構造の協奏：非平衡系における普遍法則の確立」）〔2016年〕^[2]
2. （数学、数理科学）状態の時間発展を記述する系。空間上の点が一つの状態を与える状態空間あるいは相空間、独立変数としての時間、微分方程式や漸化式などの形で与えられる状態の時間発展を記述する規則、これら3つから成る組のこと。または、そのような系を扱う分野。
   • ［……］最近乱流というのは、これまで非常にでたらめに見えるので、統計的なアプローチが主流でしたが、力学系の観点から見ようと。周期軌道を見つけようという試みが日本を先頭にして非常に注目を浴びています。（金田行雄、次世代スーパーコンピュータ戦略委員会（第7回）議事録）〔2009年〕^[3]
   • 理論面でまず力を入れているのは、数学における力学系理論と工学における制御理論の融合です。この２つの理論は、どちらもダイナミクスを扱っていますが、各々ほとんど相互作用がなく、かつ高度に発展してきています。（合原一幸、最先端研究開発支援プログラム平成22年度フォローアップに係るヒアリング）〔2010年〕^[4]

翻訳

語義1

• 英語: mechanical system

語義2

• 英語: dynamical system

Weblio日本語例文用例辞書

「力学系」の例文・使い方・用例・文例

• 力学系で,平衡点の回りで変数が振動する現象
• トンネル効果という,量子力学系における粒子の現象
• 外力の作用しない力学系の総運動量は常に一定値を保つという法則