連続力学系

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連続力学系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/13 05:52 UTC 版)

「軌道 (力学系)」の記事における「連続力学系」の解説

時間を連続的に扱う場合は t ∈ R であり、連続力学系と呼ばれる。連続力学系を定める常微分方程式系 { d x 1 d t = f 1 ( x 1 ,   x 2 , . . .   x m ) d x 2 d t = f 2 ( x 1 ,   x 2 , . . .   x m ) ⋮ d x m d t = f m ( x 1 ,   x 2 , . . .   x m ) を d X d t = F ( X ) と表す。初期条件 (t = 0, X = X0) に対する解を X(t, X0) と表す。与えられた常微分方程式系の解が存在する時間領域を I とする。連続力学系の軌道とは、 O ( X 0 ) = { X ∈ R m ∣ X = X ( t ,   X 0 ) ,   t ∈ I } で定義される集合である。幾何学的にみれば、連続力学系の軌道は相空間上の曲線として描かれる。与えられた常微分方程式系の解の一意性が満たされており、なおかつ常微分方程式系が自励系であれば、異なる2つの軌道が相空間上で交わることはない。 簡単のために I = (−∞, ∞) とすれば、連続力学系の正の半軌道は、 O + ( X 0 ) = { X ∈ R m ∣ X = X ( t ,   X 0 ) ,   0 ≤ t < ∞ } であり、負の半軌道は、 O − ( X 0 ) = { X ∈ R m ∣ X = X ( t ,   X 0 ) ,   − ∞ < t ≤ 0 } である。離散力学系と同様に O(X0) = O+(X0) ∪ O−(X0) を全軌道あるいは単に軌道と呼ぶ。F が局所リプシッツ連続であれば、F と向きも含めて同じ軌道を持ち、かつ I = (−∞, ∞) である力学系を生成できる。

連続力学系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 23:01 UTC 版)

「トランスクリティカル分岐」の記事における「連続力学系」の解説

分岐理論における標準形とは、ある種類の分岐を起こす具体的で簡単な形をした系であり、その種類の分岐を起こす一般的な系は分岐点近傍において標準形に変換できる。連続力学系におけるトランスクリティカル分岐の標準形は、次の1次元常微分方程式で与えられる。 d x d t = f ( x , μ ) = μ x ∓ x 2 ここで、t ∈ ℝ は独立変数で時間を意味し、x ∈ ℝ は従属変数で状態変数を意味する。μ ∈ ℝ は時間に依らない係数で、系のパラメータである。以下、簡単のため、f(x, μ) を f(x) とも記す。 上式の右辺第2項の符号が負である場合はスーパークリティカル（超臨界）な分岐と呼ばれ、符号が正である場合はサブクリティカル（亜臨界）な分岐と呼ばれる。ここでは、上式の右辺第2項の符号が負である場合を考える。ベクトル場の固定点（平衡点）とは、 d x d t = 0 を満たす点 x のことで、固定点では系は定常状態にある。固定点を x* で表すとすれば、トランスクリティカル分岐の標準形の固定点は、x* = 0 と x* = μ の2つである。x-y 平面で考えると、y = f(x) の曲線が x 軸と交わる箇所が固定点である。μ を変化させると、f(x) の曲線は以下の図のように変化する。 パラメータ μ と固定点 x* の変化を整理すると次のようになっている。 μ < 0 では、x* = μ は不安定固定点、x* = 0 は安定平衡点である。μ を増加させていくと、x* = μ は 0 へ近づいていく。 μ = 0 では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は x = 0 のみとなる。 μ > 0 では、再び固定点は2つになり、今度は x* = μ が安定固定点、x* = 0 が不安定固定点になる。 パラメータ μ を独立変数とみなし、μ-x 平面で固定点の様子を描いたものを分岐図という。トランスクリティカル分岐の標準形の分岐図は、以下の図のようになる。

連続力学系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/10 09:49 UTC 版)

「サドルノード分岐」の記事における「連続力学系」の解説

分岐理論における標準形とは、ある種類の分岐を起こす具体的で簡単な形をした系であり、その種類の分岐を起こす一般的な系は分岐点近傍において標準形に変換できる。連続力学系におけるサドルノード分岐の標準形は、次の1次元常微分方程式で与えられる。 d x d t = μ ∓ x 2 ここで、t ∈ ℝ は独立変数で時間を意味し、x ∈ ℝ は従属変数で状態変数を意味する。μ ∈ ℝ は時間に依らない係数で、系のパラメータである。以下、簡単のため、f(x, μ) を f(x) とも記す。 上式の右辺第2項の符号が負である場合はスーパークリティカル（超臨界）な分岐と呼ばれ、符号が正である場合はサブクリティカル（亜臨界）な分岐と呼ばれる。ここでは、上式の右辺第2項の符号が負である場合を考える。ベクトル場の固定点（平衡点）とは、 d x d t = 0 を満たす点 x のことで、固定点では系は定常状態にある。固定点を x* で表すとすれば、サドルノード分岐の標準形の固定点は μ > 0 では x* = ±√μ の2点である。一方で、μ < 0 では固定点存在しない。x-y 平面で考えると、y = f(x) の曲線が x 軸と交わる箇所が固定点である。μ を変化させると、f(x) の曲線は以下の図のように変化する。 標準形におけるパラメータ μ と固定点 x* の変化を整理すると次のようになっている。 μ < 0 では、固定点は存在しない。 μ = 0 では、x = 0 にただ1つの固定点が現れる。 μ > 0 では、1つだった固定点は x* = ±√μ という2つの固定点に分かれる。片方の x* = √μ が沈点で、もう片方の x* = −√μ が源点になる。 パラメータ μ を独立変数とみなし、μ-x 平面で固定点の様子を描いたものを分岐図という。サドルノード分岐の標準形の分岐図は、以下の図のようになる。分岐図上の曲線が折れ曲がっているような形をしていることからフォールド分岐（英語: fold bifurcation）とも呼ぶ。

連続力学系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 15:06 UTC 版)

「力学系」の記事における「連続力学系」の解説

t が実数全体で定義される力学系は連続力学系、あるいはフロー（流れ）と呼ばれる。連続力学系は一般に微分方程式で定義されることが多い。 例えば、関数 X 1(t ), X 2(t ), ..., X n(t ) を成分に持つような n 次元ベクトル[要曖昧さ回避]を X(t )、t と X の関数である n 次元のベクトルを F(t, X) とし、X に対する連立微分方程式 d X d t = F ( t , X ) を考える。このとき、n 次元空間 (X 1, X 2, ..., X n ) が上述の微分方程式の相空間であり、f t は f t (X(s )) = X(s + t ) によって与えられる。 より抽象的には、微分方程式を与える係数行列 F は多様体上のベクトル場として与えられ、力学系 f はそのベクトル場の流れとして実現される。従って連続力学系は実数の加法群 R による多様体 M への可微分な作用だということになる。