ポアンカレ写像と安定性解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:32 UTC 版)
「ポアンカレ写像」の記事における「ポアンカレ写像と安定性解析」の解説
ポアンカレ写像は離散力学系と解釈することが出来る。元のシステムの周期軌道の安定性は、対応するポアンカレ写像の不動点の安定性と密接に関連している。 (R, M, φ) を、点 p を通る周期軌道 γ を備える微分可能力学系とする。今、p を通る対応するポアンカレ写像を P : U → S {\displaystyle P:U\to S} とする。次を定義する。 P 0 := i d U {\displaystyle P^{0}:=id_{U}} P n + 1 := P ∘ P n {\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}} P − n − 1 := P − 1 ∘ P − n {\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}} および P ( n , x ) := P n ( x ) . {\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x).} このとき (Z, U, P) は状態空間 U と発展函数 P : Z × U → U {\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U} を備える離散力学系である。このシステムは定義ごとに p において不動点を持つ。 元の連続力学系の周期軌道 γ が安定であるための必要十分条件は、上の離散力学系の不動点 p が安定であることである。 元の連続力学系の周期軌道 γ が漸近安定であるための必要十分条件は、上の離散力学系の不動点 p が漸近安定であることである。
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