漸近安定とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

リアプノフ安定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/05 17:58 UTC 版)

力学系の平衡点の近傍から出発する軌道が平衡点の近くに留まり続けるとき、その平衡点はリアプノフ安定（リアプノフあんてい、英: Lyapunov stable）であるという^[1]^[2]。

定義

次のような常微分方程式系が与えられるとき、

{\frac {dX}{dt}}=f(X),\ X=\{x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\cdots \}

全般

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漸近安定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/19 16:33 UTC 版)

「リアプノフ安定」の記事における「漸近安定」の解説

リアプノフ安定の条件だけでは、平衡点近傍から出発する軌道は、時間推移しても平衡点に対して付かず離れずの状態を保つ場合がある。リアプノフ安定の条件に、t → ∞ で平衡点 Xe に収束するという条件を付け加わえる場合、Xe は漸近安定（英: asymptotically stable）であるという。すなわち、リアプノフ安定の条件を満たし、なおかつ、b > 0が存在し、 ‖ X 0 − X e ‖ < b {\displaystyle \|X_{0}-X_{e}\|<b} ならば、 lim t → ∞ ‖ X ( t ) − X e ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|X(t)-X_{e}\|=0} であるならば、Xe は漸近安定である。漸近安定であることを単に「安定」という場合もある。さらに、解軌道の初期値を平衡点 x* の近傍に限定せず、全ての解軌道が平衡点に収束する場合、x* は大域的に漸近安定という。

※この「漸近安定」の解説は、「リアプノフ安定」の解説の一部です。
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