安定性に対する応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:06 UTC 版)
「リアプノフ方程式」の記事における「安定性に対する応用」の解説
以下の定理では A , P , Q ∈ R n × n {\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}} とし、また P {\displaystyle P} と Q {\displaystyle Q} は対称行列とする。記法 P > 0 {\displaystyle P>0} は行列 P {\displaystyle P} が正定値であることを表す。 定理 （連続時間版）： どのような Q > 0 {\displaystyle Q>0} に対しても、 A T P + P A + Q = 0 {\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0} を満たす P > 0 {\displaystyle P>0} が一意的に存在するための必要十分条件は、線形常微分方程式系 x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} が大域的に漸近安定（globally asymptotically stable）であることである。2次関数 V ( x ) = x T P x {\displaystyle V(x)=x^{T}Px} は安定性の保証に用いることができるリアプノフ関数である。 定理 （離散時間版）： どのような Q > 0 {\displaystyle Q>0} に対しても、 A T P A − P + Q = 0 {\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0} を満たす P > 0 {\displaystyle P>0} が一意的に存在するための必要十分条件は、写像の反復による系 x ( k + 1 ) = A x ( k ) {\displaystyle x(k+1)=Ax(k)} が大域的に漸近安定であることである。上述と同様に、 z T P z {\displaystyle z^{T}Pz} がリアプノフ関数となる。
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