連続信号
連続時間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/16 07:46 UTC 版)
「回帰型ニューラルネットワーク」の記事における「連続時間」の解説
連続時間（continuous time）回帰型ニューラルネットワーク（CTRNN）は、入ってくるスパイクの一連の流れのニューロンへの影響をモデル化するために常微分方程式の系を用いる。 活動電位 y i {\displaystyle y_{i}} を持つネットワーク中のニューロン i {\displaystyle i} に対して、活性化の変化率は以下の式で与えられる。 τ i y ˙ i = − y i + ∑ j = 1 n w j i σ ( y j − Θ j ) + I i ( t ) {\displaystyle \tau _{i}{\dot {y}}_{i}=-y_{i}+\sum _{j=1}^{n}w_{ji}\sigma (y_{j}-\Theta _{j})+I_{i}(t)} 上式において、 τ i {\displaystyle \tau _{i}} : シナプス後ノードの時定数 y i {\displaystyle y_{i}} : シナプス後ノードの活性化 y ˙ i {\displaystyle {\dot {y}}_{i}} : シナプス後ノードの活性化の変化率 w j i {\displaystyle w{}_{ji}} : シナプス前ノードからシナプス後ノードへの結合の重み σ ( x ) {\displaystyle \sigma (x)} : xのシグモイド。例: σ ( x ) = 1 / ( 1 + e − x ) {\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})} y j {\displaystyle y_{j}} : シナプス前ノードの活性化 Θ j {\displaystyle \Theta _{j}} : シナプス前ノードのバイアス I i ( t ) {\displaystyle I_{i}(t)} : （もしあれば）ノードへの入力 CTRNNsは進化ロボティクスに適用された。進化ロボティクスでは、CTRNNsはビジョン、連携、および軽度認知行動に取り組むために使われている。 ここで留意すべきは、シャノン標本化定理により、離散時間回帰型ニューラルネットワークは、微分方程式が等価な差分方程式へと変形された連続時間回帰型ニューラルネットワークを見ることができる、という点である。この変形は、シナプル後ノード活性化関数 y i ( t ) {\displaystyle y_{i}(t)} がローパスフィルターを通された後に（しかしサンプリングより前に）起こると考えることができる。
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連続時間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:06 UTC 版)
再びクロネッカー積とvec作用素の記法を用いると、行列方程式 ( I n ⊗ A + A ¯ ⊗ I n ) vec X = − vec Q {\displaystyle (I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q} が得られる。ただし A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} は行列 A {\displaystyle A} の各要素を複素共役で置き換えた行列である。 離散時間の場合と同様に、 A {\displaystyle A} が安定的であれば、解 X {\displaystyle X} は X = ∫ 0 ∞ e A τ Q e A H τ d τ {\displaystyle X=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{A\,\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\,\tau }d\tau } と書ける。 比較のために1次元の場合を考えてみると、これは単に 2 a x = − q {\displaystyle 2\,a\,x=-q} の解が x = − q 2 a = ∫ 0 ∞ q e 2 a τ d τ {\displaystyle x={\tfrac {-q}{2\,a}}=\int _{0}^{\infty }q\,\mathrm {e} ^{2\,a\,\tau }d\tau } であると言っているのと同じことである。
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