離散時間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:06 UTC 版)
vec ( A B C ) = ( C T ⊗ A ) vec ( B ) {\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)} という結果を使うと、次の方程式 ( I n 2 − A ¯ ⊗ A ) vec ( X ) = vec ( Q ) {\displaystyle (I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)} が得られる。ここで恒等行列 I n 2 {\displaystyle I_{n^{2}}} は整合行列（英語版）である。逆行列によってこの線形方程式を解けば vec ( X ) {\displaystyle \operatorname {vec} (X)} が求められる。行列 X {\displaystyle X} を得るには vec ( X ) {\displaystyle \operatorname {vec} (X)} を適切に配列し直せばよい。 さらに、 A {\displaystyle A} が安定的であれば、解 X {\displaystyle X} は次のように書ける。 X = ∑ k = 0 ∞ A k Q ( A H ) k {\displaystyle X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}} 比較のために1次元の場合を考えてみると、これは単に ( 1 − a 2 ) x = q {\displaystyle (1-a^{2})\,x=q} の解が x = q 1 − a 2 = ∑ k = 0 ∞ q a 2 k {\displaystyle x={\tfrac {q}{1-a^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }q\,a^{2k}} であると言っているのと同じことである。
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