離散時間フーリエ変換表
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 07:00 UTC 版)
「離散時間フーリエ変換」の記事における「離散時間フーリエ変換表」の解説
下表は典型的な変換を示したものである。 n {\displaystyle n\!} は離散時間領域（標本）を表現する整数である。 ω {\displaystyle \omega \!} は ( − π , π ) {\displaystyle (-\pi ,\ \pi )} の範囲内の実数であり、連続角周波数（標本当たりのラジアン）を表す。それ以外 ( | ω | > π ) {\displaystyle (|\omega |>\pi \,)} の変換は、 X ( ω + 2 π k ) = X ( ω ) {\displaystyle X(\omega +2\pi k)=X(\omega )\,} で定義される。 u [ n ] {\displaystyle u[n]\!} は離散時間単位ステップ関数である。 sinc ( t ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (t)\!} は正規化Sinc関数である。 δ ( ω ) {\displaystyle \delta (\omega )\!} はディラックのデルタ関数である。 δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]\!} はクロネッカーのデルタ δ n , 0 {\displaystyle \delta _{n,0}\!} である。 rect ( t ) {\displaystyle \operatorname {rect} (t)} は、任意の実数値 t に関する次のような矩形関数である。 r e c t ( t ) = ⊓ ( t ) = { 0 if | t | > 1 2 1 2 if | t | = 1 2 1 if | t | < 1 2 {\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}} tri ( t ) {\displaystyle \operatorname {tri} (t)} は任意の実数値 t に関する次のような三角形関数である。 tri ( t ) = ∧ ( t ) = { 1 + t ; − 1 ≤ t ≤ 0 1 − t ; 0 < t ≤ 1 0 otherwise {\displaystyle \operatorname {tri} (t)=\land (t)={\begin{cases}1+t;&-1\leq t\leq 0\\1-t;&0<t\leq 1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} 時間領域 x [ n ] {\displaystyle x[n]\,} 周波数領域 X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,} 備考 δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]\!} 1 {\displaystyle 1\!} δ [ n − M ] {\displaystyle \delta [n-M]\!} e − i ω M {\displaystyle e^{-i\omega M}\!} M は整数 ∑ m = − ∞ ∞ δ [ n − M m ] {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\,} ∑ m = − ∞ ∞ e − i ω M m = 1 M ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω 2 π − k M ) {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {1}{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {\omega }{2\pi }}-{\frac {k}{M}}\right)\,} M は整数 u [ n ] {\displaystyle u[n]\!} 1 1 − e − i ω {\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}\!} e − i a n {\displaystyle e^{-ian}\!} 2 π δ ( ω + a ) {\displaystyle 2\pi \delta (\omega +a)\,} a は実数 cos ( a n ) {\displaystyle \cos(an)\!} π [ δ ( ω − a ) + δ ( ω + a ) ] {\displaystyle \pi \left[\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right]} a は実数 sin ( a n ) {\displaystyle \sin(an)\!} π i [ δ ( ω − a ) − δ ( ω + a ) ] {\displaystyle {\frac {\pi }{i}}\left[\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)\right]} a は実数 r e c t [ ( n − M / 2 ) M ] {\displaystyle \mathrm {rect} \left[{(n-M/2) \over M}\right]} sin [ ω ( M + 1 ) / 2 ] sin ( ω / 2 ) e − i ω M / 2 {\displaystyle {\sin[\omega (M+1)/2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M/2}} M は整数 sinc [ ( a + n ) ] {\displaystyle \operatorname {sinc} [(a+n)]} e i a ω {\displaystyle e^{ia\omega }\!} a は実数 W ⋅ sinc 2 ( W n ) {\displaystyle W\cdot \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,} tri ( ω 2 π W ) {\displaystyle \operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)} real number W 0 < W ≤ 0.5 {\displaystyle 0<W\leq 0.5} W ⋅ sinc [ W ( n + a ) ] {\displaystyle W\cdot \operatorname {sinc} [W(n+a)]} rect ( ω 2 π W ) ⋅ e j a ω {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)\cdot e^{ja\omega }} W, a は実数 0 < W ≤ 1 {\displaystyle 0<W\leq 1} { 0 n = 0 ( − 1 ) n n elsewhere {\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{elsewhere}}\end{cases}}} j ω {\displaystyle j\omega } 微分回路フィルタとして機能する W ( n + a ) { cos [ π W ( n + a ) ] − sinc [ W ( n + a ) ] } {\displaystyle {\frac {W}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}} j ω ⋅ rect ( ω π W ) e j a ω {\displaystyle j\omega \cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }} W,a は実数 0 < W ≤ 1 {\displaystyle 0<W\leq 1} 1 π n 2 [ ( − 1 ) n − 1 ] {\displaystyle {\frac {1}{\pi n^{2}}}[(-1)^{n}-1]} | ω | {\displaystyle |\omega |\!} { 0 ; n odd 2 π n ; n even {\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\mbox{ odd}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\mbox{ even}}\end{cases}}} { j ω < 0 0 ω = 0 − j ω > 0 {\displaystyle {\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}} ヒルベルト変換 C ( A + B ) 2 π ⋅ sinc [ A − B 2 π n ] ⋅ sinc [ A + B 2 π n ] {\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]} A, B は実数 C は複素数
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