離散時間モデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 14:31 UTC 版)
「ロジスティック方程式」の記事における「離散時間モデル」の解説
「ロジスティック写像」も参照 ロジスティック方程式では、時間 t を連続な実数として個体数変動をモデル化した。しかし、世代の交代が同期的に起こり、世代の重なりがないようなときには、時間を飛び飛びの時間間隔（離散時間）でモデル化する方が妥当である。ロジスティック方程式型の離散時間モデルにはいくつかの種類があるが、一例として次のような差分方程式がある。 N n + 1 = N n + r N n ( 1 − N n K ) {\displaystyle N_{n+1}=N_{n}+rN_{n}\left(1-{\frac {N_{n}}{K}}\right)} ここで、n は世代で、n = 1世代, 2世代, 3世代,... といったような飛び飛びの時間間隔を意味している。Nn は、n 世代における個体数 N を意味している。上式と数学的には等価だが、ロジスティック写像と呼ばれる、次の形式での差分方程式もよく知られている。 x n + 1 = a x n ( 1 − x n ) {\displaystyle x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})} これらの差分方程式はロジスティック方程式と一見似ているが、解の様相は全く異なり、個体数の変動はロジスティック方程式よりも遥かに複雑な振る舞いを見せるようになる。r（または a）が小さい内は、これらの解はロジスティック方程式と同じように安定な平衡状態に収束する。r が大きくなってくると、個体数は多くなったり少なくなったりを交互に繰り返すようになる。さらに r が大きくなると、カオスと呼ばれる非周期的で極めて複雑な振る舞いを起こすようになる。 また、京都大学の森下正明が発案した次のような差分方程式がある。 N n + 1 = ( 1 + a ) N n 1 + b N n {\displaystyle N_{n+1}={\frac {(1+a)N_{n}}{1+bN_{n}}}} ここで、Δt を差分時間間隔として、a と b は a = e r Δ t − 1 {\displaystyle a=e^{r\Delta t}-1} b = a K {\displaystyle b={\frac {a}{K}}} である。通常、差分化を行うと元の方程式の解と誤差が生じる。しかしこの方程式では誤差を全く生じさせない。得られる解は離散的だが、その解はロジスティック方程式の解と一致し、解を N-t 平面上に描けば、ロジスティック曲線上に正確にプロットされる。
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