ロジスティック曲線とは?

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ロジスティック きょくせん [7] 【ロジスティック曲線】 〔logistic curve〕

生物個体数の増加などを記述する微分方程式の解として得られる曲線増加率が、飽和点までの余地正比例し、個体数は時間経過とともにこの飽和点に近づく人口商品販売数の変化適合することが多い。

ロジスティック曲線


例題
 「表 1 に示すようなデータ曲線あてはめなさい。」
表 1テストデータ
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y 2.9 5.2 9.1 15.5 25 37.8 52.6 66.9 78.6 87 92.4 95.7 97.6 98.6 99.2



考え方
  1. 元のデータプロットすると図 1 のようになる。
    ロジスティック曲線
    図 1.元データプロット

  2. 独立変数は,1から始まる連続する整数とする。従属変数全て正の値でなければならない( 0 も不可 )。
    注1: より妥当なあてはめを行う場合には,非線形最小二乗あてはめを行う。
    注2: データ飽和点に達していない部分のみ( 指数的な増加部分だけ )の場合には,あてはめ失敗する場合がある。このような場合には非線形最小二乗法によるあてはめを行う。
  3. ロジスティック曲線を表す( 1 )式の両辺逆数をとると,( 2 )式のようになる。
    ロジスティック曲線  …… ( 1 )
    ロジスティック曲線  …… ( 2 )
  4. ここで,Y = 1 / y,A = 1 / a,B = b / a とおくと( 3 )式のようになる。
    ロジスティック曲線  …… ( 3 )
  5. ( 3 )式は,未知パラメータ A,B については線形であるが,c については非線形である。そこで,以下のような逐次的近似する手法をとる。
    1. パラメータ c の初期近似値c1 とする( c = c1 + δ )。
      ロジスティック曲線
    2. ( 3 )式に代入して,
      ロジスティック曲線
    3. X1 = exp ( - c1 x ) ,X2 = x exp ( - c1 x ) ,C = B δ とおくと,
      ロジスティック曲線  …… ( 4 )
    4. ( 4 )式は,2 個の独立変数( X1,X2 )からなる回帰式であるので,A,B,C を求めることができる。
    5. c の近似値 c1改良c2 は,δ = C / B であるからc2 = c1 + δ と表される。a = 1/A,b = a × B である。
    6. パラメータ c の修正量 δ が十分小さくなるまで( 4 )式の重回帰式繰返し計算する。

    例題では,c1 = 0.5 とすると以下のようになる。
    c1 = 0.5
    
               x        y     Y=1/y       X1        X2
                1      2.9   0.34483  0.60653   0.60653
                2      5.2   0.19231  0.36788   0.73576
                3      9.1   0.10989  0.22313   0.66939
                4     15.5   0.06452  0.13534   0.54134
                5     25.0   0.04000  0.08208   0.41042
                6     37.8   0.02646  0.04979   0.29872
                7     52.6   0.01901  0.03020   0.21138
                8     66.9   0.01495  0.01832   0.14653
                9     78.6   0.01272  0.01111   0.09998
               10     87.0   0.01149  0.00674   0.06738
               11     92.4   0.01082  0.00409   0.04495
               12     95.7   0.01045  0.00248   0.02975
               13     97.6   0.01025  0.00150   0.01954
               14     98.6   0.01014  0.00091   0.01277
               15     99.2   0.01008  0.00055   0.00830
    
    A = 0.0109069
    B = 0.6005591
    C = 0.0514861
    
    a = 1 / 0.0109069161041176 = 91.6849447134258
    b = 0.600559139008607×91.6849447134258 = 55.0622314571467
    c2 = 0.5 + 0.0514861465374784 / 0.600559139008607 = 0.585730352255518
    
               x        y     Y=1/y       X1        X2
                1      2.9   0.34483  0.55670   0.55670
                2      5.2   0.19231  0.30991   0.61983
                3      9.1   0.10989  0.17253   0.51759
                4     15.5   0.06452  0.09605   0.38419
                5     25.0   0.04000  0.05347   0.26735
                6     37.8   0.02646  0.02977   0.17860
                7     52.6   0.01901  0.01657   0.11600
                8     66.9   0.01495  0.00922   0.07380
                9     78.6   0.01272  0.00514   0.04622
               10     87.0   0.01149  0.00286   0.02859
               11     92.4   0.01082  0.00159   0.01751
               12     95.7   0.01045  0.00089   0.01063
               13     97.6   0.01025  0.00049   0.00641
               14     98.6   0.01014  0.00027   0.00384
               15     99.2   0.01008  0.00015   0.00229
    
    A = 0.0101096
    B = 0.6125705
    C = 0.0116214
    
    a = 1 / 0.0101096240700802 = 98.9156464244343
    b = 0.61257050663961×98.9156464244343 = 60.5928076448002
    c2 = 0.58573 + 0.0116213723541889 / 0.61257050663961 = 0.604701485287368
    					:
    					:
    

ロジスティック曲線
図 2.あてはめ結果


ロジスティック方程式

(ロジスティック曲線 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/07/20 13:59 UTC 版)

ロジスティック方程式(ロジスティックほうていしき、英語:logistic equation[1])は、生物の個体数の変化の様子を表す数理モデルの一種である。ある単一種の生物が一定環境内で増殖するようなときに、その生物の個体数(個体群サイズ)の変動を予測できる。人間の場合でいえば、人口の変動を表すモデルである。


注釈

  1. ^ 一例として以下のように解くことができる。N の値の範囲を 0 < N < K に限定して解く方法と[50]、特に限定せずに解く方法がある[52]。ここでは範囲を限定しない解き方を示す。まずロジスティック方程式を変数分離変形して
    を得る。さらに左辺を部分分数分解すれば
    となる。両辺を積分して
    となり、ここで C積分定数である。両辺の指数をとり、絶対値を外せば
    となる。t = 0 のときの N の値を N0 で表せば
    なので、これを上式に代入して
    となる。式を整理して
    となる。

出典

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