変数分離

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変数分離

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/22 03:19 UTC 版)

ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。
範囲 自然科学 工学 天文学 物理学 化学 生物学 地質学 応用数学 連続体力学 カオス理論 力学系 社会科学 経済学 個体群動態論
分類
タイプ 常 偏 微分代数 積分微分 分数階 線型 非線形 変数のタイプにより 独立変数と従属変数 自律微分方程式 複素 Coupled / Decoupled 完全 斉次 / 非斉次 特徴 階数 作用素 記法
過程との関係 差分 (離散類似) 確率 確率偏 遅延
解
一般的な話題 ピカール＝リンデレーフの定理 コーシー＝コワレフスカヤの定理 ペアノの存在定理 ロンスキアン Phase portrait 相空間 リャプノフ / 漸近安定性 / 指数安定性 収束率 級数 / 積分解 数値積分 ディラックのデルタ関数
解法 Inspection 特性曲線法 広田の方法 常微分方程式の数値解法 オイラー ルンゲ・クッタ 線型多段法 狙い撃ち法 偏微分方程式の数値解法 有限差分 (クランク・ニコルソン) 有限要素 有限体積 ガレルキン 可積分アルゴリズム 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 積分因子 積分変換 摂動論 変数分離 未定係数
人物 (海外) アイザック・ニュートン レオンハルト・オイラー エミール・ピカール ユゼフ・マリア・ハーネー＝ウロンスキー エルンスト・リンデレフ ルドルフ・リプシッツ オーギュスタン＝ルイ・コーシー ジョン・クランク フィリス・ニコルソン カール・ルンゲ マルティン・クッタ ソフィア・コワレフスカヤ ポール・パンルヴェ イズライル・ゲルファント ウラジーミル・アーノルド ヴォルフガンク・ウォルター テレンス・タオ ピーター・オルバー
日本人 福原満洲雄 溝畑茂 加藤敏夫 藤田宏 増田久弥 木村俊房 広田良吾 佐藤幹夫 神保道夫
表 話 編 歴

変数分離（へんすうぶんり、英: Separation of variables）は、常微分方程式や偏微分方程式を解くための手法。方程式を変形することにより、2つあるいはそれ以上の変数が式の右辺・左辺に分かれるようにすること。

常微分方程式に対して用いるときと、偏微分方程式に対して用いるときは、そのやり方がかなり異なっているが、それぞれの変数に依存する部分を両辺に分けるという点では共通している。

常微分方程式

次の形に書かれる常微分方程式を考える。

${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)\,h(f(x))$

あるいは y = f (x ) と書くことにより、もっと簡単に

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)\qquad \qquad (1)$

ここで、h (y ) ≠ 0 のとき、両辺を h (y ) で割って

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)$

となる。この両辺を x で積分すると

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int g(x)\,dx+C\qquad \qquad (2)$

で、置換積分の法則により

$\int {\frac {1}{h(y)}}dy=\int g(x)\,dx+C$

となる。

この両辺の積分を実行すれば、微分方程式の解が求まる。この手続きは実際のところ、導関数 dy /dx を分数とみなして分母を払うのと同じことである。そうすることによって解くのがもっと簡単になる。具体的なやり方は以下の例で示す。

（注意：両辺の積分に対し

$\int {\frac {1}{h(y)}}dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2}$

のように積分定数をそれぞれ書く必要はない。これは C = C₂ - C₁ として定数を一つにまとめることが出来るからである。）

例1

常微分方程式

${\frac {df(x)}{dx}}=f(x)\,(1-f(x))$

は、より簡単に

${\frac {dy}{dx}}=y(1-y)$

と書けるが、ここで g (x ) = 1, h (y ) = y (1-y ) とすれば、この微分方程式は(1)式の形になる。よってこの微分方程式は変数分離が可能である。

上記の説明により、dy と dx を分けて扱うことができる。すなわち両辺に dx をかける。それから両辺を y (1-y ) でわると

${\frac {dy}{y(1-y)}}=dx$

となる。これで x と y を分離することができた。つまり、x は右辺のみにあり、y は左辺のみにある状態になった。

両辺を積分して

$\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx$

となる。これを部分分数分解して

$\int \left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{1-y}}\right)dy=\int dx$

そして積分を計算すると

$\log {y}-\log(1-y)=x+C$

ここで C は積分定数である。多少の計算により、y について解くことができて

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}$

となる。B は任意の定数である。この解を x で微分すれば、この解が正しいことを確かめることができる。その結果はもともとの微分方程式と一致するはずだ。

ところで、両辺を y (1-y ) で割るにあたって、y (x ) = 0 や y (x ) = 1 が微分方程式の解になるかどうかを検討する必要がある。そのような解は特異解となりうる。

例2

変数分離を用いて解ける2階非線形常微分方程式の例。

$x{\frac {\;d^{2}y\;}{dx^{2}}}+{\bigl (}1+P(y){\bigr )}{\frac {\;dy\;}{dx}}=0.$

この微分方程式は，このまま両辺を x で積分し，部分積分法を適用して整理すると，変数分離を用いて解くことができる。一般解は，

$x=C_{2}\exp {}{\Biggl (}\int {\frac {\;dy\;}{\;C_{1}-\displaystyle \int P(y)\,dy\;}}{\Biggr )}$

と表示される。ここに，P(y) は既知関数であり，C₁, C₂ は積分定数である。 ただし，C₂ ≠ 0 とする。求積法で解ける微分方程式は，変数分離を用いることが多い。

偏微分方程式

n 変数関数

$F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

についての偏微分方程式を解くにあたって、その解の形を

$F=F_{1}(x_{1})\,F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})$

あるいは

$F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})$

のように仮定すると、偏微分方程式がいくつかの常微分方程式になる場合がある。多くの場合、個々の変数に対して、微分方程式からは決定できない分離定数が現れることになる。

例1

未知関数 F (x, y, z ) と、それが満たす偏微分方程式

${\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0\qquad \qquad (1)$

を考える。関数 F (x, y, z ) が

$F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)\qquad \qquad (2)$

の形に書けると仮定すると、(1)式は

${\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0$

となる。なぜなら ∂F /∂x = dX /dx などが成り立つからである。

いま、X' (x ) は x のみに依存し、Y' (y ) は y のみに依存し、そしてZ' (z ) についても同様である。また、微分方程式 (1) は任意の x, y, z について成り立つ。これより、それぞれの項が定数になることがわかる。すなわち

${\frac {dX}{dx}}=c_{1},\quad {\frac {dY}{dy}}=c_{2},\quad {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}\qquad \qquad (3)$

となる。定数 c₁, c₂, c₃ は

$c_{1}+c_{2}+c_{3}=0\qquad \qquad (4)$

を満たす。(3) 式は3つの微分方程式のセットである。この場合、それぞれの微分方程式は単に積分するだけで解を得ることができて、答えは

$F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}\qquad \qquad (5)$

となる。積分定数 c₄ は初期条件によって定まる。

例2

以下の偏微分方程式を考える。；

$\nabla ^{2}v+\lambda v={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+\lambda v=0$

まず解の形を

$v=X(x)Y(y)$

とおく。これ以外の解は、このような解の線形結合になっていると考える。

これを微分方程式に代入すると

$X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0$

となる。この両辺を X (x ) で割って

${\frac {X''(x)Y(y)}{X(x)}}+Y''(y)+\lambda Y(y)=0$

更に Y (y ) で割って

${\frac {X''(x)}{X(x)}}+{\frac {Y''(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}}=0$

すると X'' (x )/X (x ) は x のみの関数で、もう一つの項は y のみの関数だから、分離定数を用いて

${\frac {X''(x)}{X(x)}}=-{\frac {Y''(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}}=k$

と書ける。これによって二つの2階線型常微分方程式

${\frac {X''(x)}{X(x)}}=k,\quad X''(x)=kX(x)$

および

${\frac {Y''(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}}=-k,\quad Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0$

が得られ、それぞれ解くことができる。もとの問題が境界値問題であるなら、その境界条件を用いて解を定めることができる。

関連項目

• 求積法
• 微分方程式
• 常微分方程式

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変数分離

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/06/15 17:59 UTC 版)

「ハミルトン-ヤコビ方程式」の記事における「変数分離」の解説

ハミルトン–ヤコビ方程式は変数分離によって解かれる場合に最も便利であり、その場合には保存量が直接的に求められる。例えば、ハミルトニアンが陽には時間 に依っていない場合、 を分離する事が出来る。そのとき、時間微分 は定数（通常 ）となる必要があり、分離された解 を与える。時間に依存しない関数 は時にハミルトンの特性関数と呼ばれる。簡約されたハミルトン–ヤコビ方程式は以下のようになる。 他に変数分離が可能な状況として、ある一般化座標 とその微分 が一つの関数 を通してのみハミルトニアンの中に現れるような場合を考える。 この場合、関数 は二つの関数に分離でき、片方は だけに依存して、他方は残りの一般化座標に依存する。 この形でハミルトン–ヤコビ方程式を置き換えると、関数 は定数（以下 ）となる事が示され、 に関する一階の常微分方程式 が得られる。 幸運な場合では、関数 は 個の関数 に完全に分離され以下のようになる。 この場合、問題は 個の常微分方程式に帰着する。 が変数分離可能かどうかは、ハミルトニアンの形と一般化座標の選び方の両方に依存する。直交座標でハミルトニアンが時間に依存せず、一般化運動量について二次式である場合に、以下の条件を満たせば は分離可能である。 すなわち、ポテンシャルエネルギーの項が加法的に各々の座標について分離可能で、各々の座標に対するポテンシャルエネルギーの項がハミルトニアンの対応する運動項と同じ座標依存の因子を掛けられている場合である（ステッケルの条件）。 直交座標におけるいくつかの例を以下の節に示す。