変数同士の陰伏的な関係と微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/19 15:01 UTC 版)
「全微分」の記事における「変数同士の陰伏的な関係と微分」の解説
函数 f は二つの変数 x, y の函数とする。通常はこれらは互いに独立であると仮定するところだが、これらが従属関係を持つ状況を考えなければならない場面も存在する。例えば y が x の函数で、f の定義域を R2 内の曲線に制限するとすれば、このとき x に関する f の偏微分は、f の変化率を正しくあたえるものとならない（x を動かせば y も変化してしまうから）。しかし全微分はそれらの依存関係も汲んで捉えることができる。 例えば f(x,y) = xy を考える。x に関する f の変化率は普通は x に関する偏微分商、今の場合 ∂f⁄∂x = y で得られるが、y が x に依存するならば、x を動かすとき y を固定することができないから、この偏微分商は x の変分に対する f の変化率を正しく与えない。 今制約条件として直線 y = x 上に話を限れば、f(x,y) = f(x,x) = x2 である。この場合、f の x に関する全微分商は d f d x = 2 x {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dx}}}=2x} である。y に x の式を実際に代入する代わりに、同じ結果を連鎖律を用いて d f d x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y d y d x = y + x ⋅ 1 = x + y {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dx}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathit {dy}}{\mathit {dx}}}=y+x\cdot 1=x+y} と得ることができる。これが偏微分商と一致しないこと: d f d x = 2 x ≠ ∂ f ∂ x = y = x {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dx}}}=2x\neq {\frac {\partial f}{\partial x}}=y=x} に注意せよ。 陰伏的な従属関係を代入を実行して解消することはしばしば有効なことだが、連鎖律を用いる方がより汎用で効果的な手法である。時刻 t と時刻 t に依存する n 個の変数 pi の函数 M(t, p1, …, pn) を考えるとき、M の全微分商 d M d t = d d t M ( t , p 1 ( t ) , … , p n ( t ) ) {\displaystyle {{\mathit {dM}} \over {\mathit {dt}}}={\frac {d}{\mathit {dt}}}M(t,p_{1}(t),\ldots ,p_{n}(t))} は、多変数函数の微分に関する連鎖律により d M d t = ∂ M ∂ t + ∑ i = 1 n ∂ M ∂ p i d p i d t = ( ∂ ∂ t + ∑ i = 1 n d p i d t ∂ ∂ p i ) M {\displaystyle {{\mathit {dM}} \over {\mathit {dt}}}={\frac {\partial M}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial M}{\partial p_{i}}}{\frac {{\mathit {dp}}_{i}}{\mathit {dt}}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\mathit {dp}}_{i}}{\mathit {dt}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right)M} と書ける。例えば f(x(t), y(t)) の全微分商は d f d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dt}}}={\partial f \over \partial x}{{\mathit {dx}} \over {\mathit {dt}}}+{\partial f \over \partial y}{{\mathit {dy}} \over {\mathit {dt}}}} となる。ここに ∂f⁄∂t の項が現れないのは f が独立変数 t に直接依存していないことによる。
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