変数分離系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/03 06:28 UTC 版)
変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 ( p , q ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )} を用いると、ハミルトンの特性関数 S ( q , α ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }})} を S = S 1 ( q 1 , α ) + S 2 ( q 2 , α ) + ⋯ + S n ( q n , α ) {\displaystyle S=S_{1}(q_{1},\mathbf {\alpha } )+S_{2}(q_{2},{\boldsymbol {\alpha }})+\cdots +S_{n}(q_{n},{\boldsymbol {\alpha }})} という形に書くことができる。積分定数 α = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})} の値が特定されると、各座標 q i {\displaystyle q_{i}} が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である。 ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration) 運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion) このとき、定数 α {\displaystyle \mathbf {\alpha } } により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分 J i := 1 2 π ∮ p i d q i = 1 2 π ∮ ∂ S i ∂ q i ( q i , α ) d q i {\displaystyle J_{i}:={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}\,dq_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint {\frac {\partial S_{i}}{\partial q_{i}}}(q_{i},{\boldsymbol {\alpha }})dq_{i}} により作用変数 (action variable) J i = J i ( α ) {\displaystyle J_{i}=J_{i}({\boldsymbol {\alpha }})} が定義できる。この定義のもとでハミルトンの特性関数は S = S ( q , J ) {\displaystyle S=S(\mathbf {q} ,\mathbf {J} )} という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換 ( p , q ) ↦ ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\mapsto (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} により角変数 (angle variable) θ i := ∂ S ∂ J i {\displaystyle \theta _{i}:={\frac {\partial S}{\partial J_{i}}}} が導入される。角変数 θ i {\displaystyle \theta _{i}} は運動の一周期の間に 2 π {\displaystyle 2\pi } 変化する。
※この「変数分離系」の解説は、「作用・角変数」の解説の一部です。
「変数分離系」を含む「作用・角変数」の記事については、「作用・角変数」の概要を参照ください。
- 変数分離系のページへのリンク
