全微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/03 18:48 UTC 版)
微分積分学における多変数函数の全微分商、全微分係数あるいは単に全微分（ぜんびぶん、英: total derivative）は、外生的な変数の（任意に小さな）変分に対する函数の変分の割合（差分商）の極限である。このとき、外生的な変数による直接的な影響のみならず函数が持つ他の内生的変数を通じてもたらされる影響をも考慮する必要がある。これは（差分商の極限として定義される通常の実函数の微分を形式的に多変数化して得られる）より弱い概念である偏微分を用いるのでは有効な結果を得られないような解析学的主張に対して、より多くの結果を得られるということであり、またこの意味において、微分積分学の様々な概念がこの全微分をもとにして定義される。現代数学の多くの文献において、全微分（全微分可能）を単に微分（微分可能）のように言うことはよくある。というより偏微分との区別のための強調語の過ぎないのでこの姿勢の方が本来自然である。
- ^ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.
全微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 04:41 UTC 版)
詳細は「全微分」を参照 f が Rn の開集合から Rm への函数ならば、f の方向微分は、その点における f の選択した方向への最適線型近似を与える。しかし、 n > 1 のときは、位置方向への方向微分だけでは f の挙動を完全に捉えることはできない。全微分は、全ての方向を一度にまとめて考えることで函数の挙動を完全にとらえるものである。 f の a における全微分係数（あるいは単に全微分）は lim h → 0 ‖ f ( a + h ) − f ( a ) − f ′ ( a ) h ‖ ‖ h ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} \rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0} を満たす唯一の線型写像 f ′(a): Rn → Rm と定義される。ただし、h ∈ Rn だから分母におけるノルムは Rn における標準ノルムであり、他方 f ′(a)h ∈ Rm であり分子のノルムは Rm の標準ノルムである。v が a を始点とするベクトルならば、f ′(a)v は f による v の押し出しと呼ばれ、f∗v とも書かれる。f の点 a における全微分係数 f ′(a) は a を始点とする任意のベクトル v に対して、線型近似公式 f ( a + v ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) v {\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} } が満足される。一変数の微分係数のときと同じく f ′(a) はこの近似の誤差が可能な限り最小となるように選ばれる。高次元の場合に、この線型近似公式が意味を持つためには f ′(a) は Rn のベクトルを Rm のベクトルへ写す線型写像でければならず、また f ′(a)v はその写像の v における値でなければならない。
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全微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/05 14:41 UTC 版)
「勾配 (ベクトル解析)」の記事における「全微分」の解説
関数 f: Rn → R の点 x ∈ Rn における最適線型近似は、Rn から R への線型汎関数であり、x における f の微分係数あるいは全微分係数 dfx, Df(x) と呼ばれる。従って勾配は全微分係数との間に ( ∇ f ) x ⋅ v = d f x ( v ) ( v ∈ R n ) {\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)\quad (v\in \mathbb {R} ^{n})} なる関係で結ばれている。x を dfx へ写す関数 df は f の全微分または全導関数と呼ばれ、これを一次微分形式と解釈して f の外微分と見做すこともできる。 Rn を（長さ n で成分が実数値の）列ベクトル全体の成す空間と見るとき、全微分 df を行ベクトル d f = ( ∂ f ∂ x 1 , … , ∂ f ∂ x n ) {\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)} と見做して、dfx(v) を行列の積で与えることができる。このとき、勾配は列ベクトル ∇ f = t ( d f ) {\displaystyle \nabla f={}^{t}(df)} に対応する。
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全微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に ⟨ x 1 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } 座標系が定まっているとする。式 (1-14) の x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}} は全て R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} から R {\displaystyle \mathbb {R} } への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に x i ′ ( x ) = t e i {\displaystyle {\textit {x}}_{i}'(\mathbf {x} )={}^{t}\mathbf {e} _{i}} (5-1) である。ここで t {\displaystyle {}^{t}} は転置を意味する。すなわち t e i {\displaystyle {}^{t}{\textbf {e}}_{i}} とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。 式 (4-4) より f ′ ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )} は、 f ′ ( x ) = ( ( ∂ f ∂ x 1 ) ( x ) , ⋯ , ( ∂ f ∂ x n ) ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right)(\mathbf {x} ),\cdots ,\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right)(\mathbf {x} )\right)} (5-2) で定まる行列値関数であるため、 f ′ ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) ) t e i {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right){\ }^{t}\mathbf {e} _{i}} (5-3) であり、 f ′ ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) ) ( r i ′ ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(r_{i}'(\mathbf {x} )\right)} (5-4) がわかる。ここで、 f ′ {\displaystyle \mathbf {f} '} を d f {\displaystyle d\mathbf {f} } 、 x i ′ {\displaystyle x_{i}'} を d x i {\displaystyle dx_{i}} と書くと、 d f ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) ) ( d x i ( x ) ) {\displaystyle d\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(dx_{i}(\mathbf {x} )\right)} (5-5) となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、 d f = ∑ i = 1 n ( ∂ f ∂ x i ) d x i {\displaystyle d\mathbf {f} =\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)dx_{i}} (5-6) となる。
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