線型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/14 23:07 UTC 版)
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数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。
概要
抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。
「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、英: linear operator）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、英: linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる[注釈 1]。
定義
V と W とを同じ体 𝔽 の上のベクトル空間とする。V から W への写像 f が、任意のベクトル x, y ∈ V と任意のスカラー c ∈ 𝔽 に対し、
をともに満たすとき[注釈 2]、f を 𝔽 上の線型写像 または簡単に 𝔽-線型写像という。考えているベクトル空間および線型写像がどの体上のものであるかが明らかなときには、省略して単に「 f は V から W への線型写像である」などということもある[注釈 3]。
上記の二性質を合わせて線型性と呼び、また有限個のスカラー λi とベクトル vi に対して
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線型性:
- 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年。ISBN 978-4130620017。
- 佐武一郎『線型代数学』裳華房〈数学選書1〉、1974年。 ISBN 978-4785313012。
- Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3
- Lang, Serge (1987), Linear algebra, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Linear Transformation". mathworld.wolfram.com (英語).
- linear map in nLab
- linear transformation - PlanetMath.（英語）
- Definition:Linear Transformation at ProofWiki
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Linear transformation”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
線型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/01/10 05:18 UTC 版)
詳細は「線型写像」および「作用 (数学)」を参照 体 K 上のベクトル空間 V とは、加法と呼ばれる二項演算 + とスカラー倍と呼ばれる単項演算族 {αk: V → V}k∈K (αk(v) := kv for v ∈ V) を演算として持つ代数系 (V, +, 0, −·, {αk}k∈K) である（ここで、0 は加法に関する単位元（零元）であり, −· は加法に関する逆元（マイナス元）を与える単項演算であるが、加法に関して V は群となるのでこれを略して (V, +, {αk}k∈K) と考えてもよい）。また、スカラー倍の全体からなる単項演算族は体 K から V の加法群としての自己準同型環 End(V) への単位的環としての準同型像として得られるものである。 二つのベクトル空間 (V, +, {αk}k∈K), (W, +′, {βk}k∈K) (βk: W → W; βk(w) := kw for k ∈ W) の間の準同型 f: V → W は f ( v 1 + v 2 ) = f ( v 1 ) + ′ f ( v 2 ) ( v 1 , v 2 ∈ V ) , {\displaystyle f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+'f(v_{2})\quad (v_{1},\,v_{2}\in V),} f ( k v ) = f ( α k ( v ) ) = β k ( f ( v ) ) = k f ( v ) ( v ∈ V ) {\displaystyle f(kv)=f(\alpha _{k}(v))=\beta _{k}(f(v))=kf(v)\quad (v\in V)} を満たすものである。ベクトル空間（あるいはもっと一般の環上の加群）の間の準同型写像のことを通常は、線型写像と呼ぶ。
※この「線型写像」の解説は、「準同型」の解説の一部です。
「線型写像」を含む「準同型」の記事については、「準同型」の概要を参照ください。
線型写像
出典:『Wiktionary』 (2021/08/21 14:11 UTC 版)
名詞
- （数学）2つのベクトルを先に足し合わせて入力して返ってくる値とそれぞれのベクトルを入力して返ってくる値を後から足し合わせたものが同じで、あるベクトルを先にスカラー倍して入力して返ってくる値と元のベクトルを入力して返ってくる値を後からスカラー倍したものが同じである写像。体 K 上のベクトル空間 V, W において、任意のベクトル X ∈ V と Y ∈ W について f(X + Y) = f(X) + f(Y) を満たし、なおかつ任意のスカラー a ∈ K とベクトル X ∈ V について f(aX) = af(X) を満たす写像 f: V → W。
異表記・別形
参照
翻訳
線型写像と同じ種類の言葉
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