余因子展開
余因子展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)
詳細は「余因子展開」を参照 n次正方行列 A := (aij) に対して、i 行または i 列を除いてできる小行列式に (−1)i+j を乗じた Δ i j = ( − 1 ) i + j | a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j + 1 ⋯ a i − 1 , n a i + 1 , 1 ⋯ a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j + 1 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n , j − 1 a n , j + 1 ⋯ a n n | {\displaystyle \Delta _{ij}=(-1)^{i+j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}} を (i, j)余因子（よいんし、英: cofactor）という。（係数 (−1)i+j を含まない形で定義する場合もある。） 列（あるいは行）に関する線型性から、正方行列の行列式は、ある列（あるいはある行）の変数に関して斉 1 次である。A の行列式は j 列に関して det ( A ) = Δ 1 j a 1 j + Δ 2 j a 2 j + ⋯ + Δ n j a n j {\displaystyle \det(A)=\Delta _{1j}a_{1j}+\Delta _{2j}a_{2j}+\cdots +\Delta _{nj}a_{nj}} と展開される。また同様に i 行に関して det ( A ) = Δ i 1 a i 1 + Δ i 2 a i 2 + ⋯ + Δ i n a i n {\displaystyle \det(A)=\Delta _{i1}a_{i1}+\Delta _{i2}a_{i2}+\cdots +\Delta _{in}a_{in}} と展開される。（余因子の定め方によっては展開の符号が変わる。） 余因子は次数が 1 少ない行列式であるから、展開を繰り返すことで元の行列の行列式を小さなサイズの行列式の計算に帰着させることができる。基本変形に対する行列式の性質をうまく組み合わせると展開の効率を高めることができる。
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