余因子行列と逆行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 06:50 UTC 版)
詳細は「正則行列」および「余因子行列」を参照 余因子により、正則行列の逆行列の成分を書き下すことができる。正方行列 A の全ての余因子を成分とする正方行列の転置行列は余因子行列 (adjungate matrix) あるいは古典随伴行列 (classicical adjoint matrix) と呼ばれ、~A や adj A で表す： A ~ = adj ( A ) = [ a ~ 11 a ~ 21 ⋯ a ~ n 1 a ~ 12 a ~ 22 ⋯ a ~ n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a ~ 1 n a ~ 2 n ⋯ a ~ n n ] {\displaystyle {\widetilde {A}}=\operatorname {adj} (A)={\begin{bmatrix}{\widetilde {a}}_{11}&{\widetilde {a}}_{21}&\cdots &{\widetilde {a}}_{n1}\\{\widetilde {a}}_{12}&{\widetilde {a}}_{22}&\cdots &{\widetilde {a}}_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\widetilde {a}}_{1n}&{\widetilde {a}}_{2n}&\cdots &{\widetilde {a}}_{nn}\end{bmatrix}}} A の余因子展開より、次の式が成り立つ： A A ~ = A ~ A = ( det ( A ) ) I {\displaystyle A{\widetilde {A}}={\widetilde {A}}A=(\det(A))I} 特に、det(A) ≠ 0, つまり A が正則のとき、A の逆行列は余因子行列に A の行列式の逆数を掛けたものである： A − 1 = 1 det ( A ) A ~ {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\widetilde {A}}} 上の公式は次のように一般化できる： n次正方行列に対して、k (≤ n) 個ずつの添え字集合（小さい順とする）を I = {i1, i2, …, ik} ただし 1 ≤ i1 < i2 < … < ik ≤ n J = {j1, j2, …, jk} ただし 1 ≤ j1 < j2 < … < jk ≤ n とすると [ A − 1 ] I , J = ( − 1 ) ∑ s = 1 k i s + ∑ s = 1 k j s det A [ A ] J ′ , I ′ {\displaystyle [A^{-1}]_{I,J}={\frac {(-1)^{\sum \limits _{s=1}^{k}i_{s}+\sum \limits _{s=1}^{k}j_{s}}}{\det A}}[A]_{J',I'}} ここで、I′, J′ はそれぞれ I, J の全体集合 {1, 2, …, n} における補集合を表す。 また、 [ A ] I , J {\displaystyle [A]_{I,J}} は、A の小行列で行の添え字が I で列の添え字が J であるものの行列式を表す。つまり、 [ A ] I , J = det ( A i p , j q ) p , q = 1 , ⋯ , k {\displaystyle [A]_{I,J}=\det(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\cdots ,k}} である。 単純な証明はウェッジ積を用いて与えることができる。実際、 [ A − 1 ] I , J ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) = ± ( A − 1 e j 1 ) ∧ ⋯ ∧ ( A − 1 e j k ) ∧ e i 1 ′ ∧ ⋯ ∧ e i n − k ′ {\displaystyle [A^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})=\pm (A^{-1}e_{j_{1}})\wedge \cdots \wedge (A^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i'_{n-k}}} である。ただし e 1 , ⋯ , e n {\displaystyle e_{1},\cdots ,e_{n}} は基底ベクトルである。A を両辺に作用させると [ A − 1 ] I , J det A ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) = ± ( e j 1 ) ∧ ⋯ ∧ ( e j k ) ∧ ( A e i 1 ′ ) ∧ ⋯ ∧ ( A e i n − k ′ ) = ± [ A ] J ′ , I ′ ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) {\displaystyle {\begin{aligned}{}[A^{-1}]_{I,J}\det A(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})&=\pm (e_{j_{1}})\wedge \cdots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (Ae_{i'_{1}})\wedge \cdots \wedge (Ae_{i'_{n-k}})\\&=\pm [A]_{J',I'}(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})\end{aligned}}} 符号は ( − 1 ) ∑ s = 1 k i s + ∑ s = 1 k j s {\displaystyle (-1)^{\sum \limits _{s=1}^{k}i_{s}+\sum \limits _{s=1}^{k}j_{s}}} であることが計算できる。（証明終）
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余因子行列と逆行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)
n次正方行列 A := (aij) に対し、(i, j)余因子を (j, i)成分に持つ行列 A ~ := [ Δ 11 Δ 21 ⋯ Δ n 1 Δ 12 Δ 22 ⋯ Δ n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Δ 1 n Δ 2 n ⋯ Δ n n ] {\displaystyle {\tilde {A}}:={\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{n1}\\\Delta _{12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1n}&\Delta _{2n}&\cdots &\Delta _{nn}\end{bmatrix}}} を A の余因子行列という。余因子行列については、余因子展開を逆に用いると A ~ A = A A ~ = det ( A ) E n {\displaystyle {\tilde {A}}A=A{\tilde {A}}=\det(A)E_{n}} となることが確かめられる。ただし、En は n次単位行列である。またここから、A の行列式 det(A) が 0 でない場合には 1 det ( A ) A ~ = [ Δ 11 det ( A ) Δ 21 det ( A ) ⋯ Δ n 1 det ( A ) Δ 12 det ( A ) Δ 22 det ( A ) ⋯ Δ n 2 det ( A ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Δ 1 n det ( A ) Δ 2 n det ( A ) ⋯ Δ n n det ( A ) ] {\displaystyle {\frac {1}{\det(A)}}{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\Delta _{11}}{\det(A)}}&{\cfrac {\Delta _{21}}{\det(A)}}&\cdots &{\cfrac {\Delta _{n1}}{\det(A)}}\\{\cfrac {\Delta _{12}}{\det(A)}}&{\cfrac {\Delta _{22}}{\det(A)}}&\cdots &{\cfrac {\Delta _{n2}}{\det(A)}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\Delta _{1n}}{\det(A)}}&{\cfrac {\Delta _{2n}}{\det(A)}}&\cdots &{\cfrac {\Delta _{nn}}{\det(A)}}\end{bmatrix}}} は A の逆行列 A−1 に一致する（クラメルの公式)。 なお、余因子行列としてここでの余因子行列の転置行列、すなわち (i, j)余因子を (i, j)成分に持つ行列 を採用する流儀もあるので、単に「余因子行列」といったときにはどちらの流儀であるか注意が必要である。
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