クラメルの公式とは? わかりやすく解説

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クラメルの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/28 00:24 UTC 版)

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線型代数学におけるクラメルの法則あるいはクラメルの公式(クラメルのこうしき、: Cramer's rule; クラメルの規則)は、未知数の数と方程式の本数が一致し、かつ一意的に解ける線型方程式系の解を明示的に書き表す行列式公式である。これは、方程式の解を正方係数行列とその各列ベクトルを一つずつ方程式の右辺のベクトルで置き換えて得られる行列の行列式で表すものになっている。名称はガブリエル・クラーメル (1704–1752) に因むもので、クラーメルは任意個の未知数に関する法則を1750年に記している[1]。なお特別の場合に限れば、コリン・マクローリン1748年に公表[2]している(また、恐らくはそれを1729年ごろにはすでに知っていたと思われる[3][4][5])。

主張

与えられた線型方程式n 個の変数を持ち、同数 n 本の一次方程式からなる形:

この例においてクラメルが現代的なものとは違う記法を用いていることが見て取れる。これは現代的な記法で言えば

クラメルの法則の幾何学的解釈: 二つ目と三つ目の影を付けた平行四辺形の面積は等しく、一つ目のそれの x1-倍である。この等値性はクラメルの法則から従う。

クラメルの法則を幾何学的に解釈することもできて、それは証明や幾何学的な性質を詳しく見ることによって得られる。この幾何学的な論法は、以下に例示する二次元の場合のみならず、一般の場合においても通用する。

方程式系

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