直交行列とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 同じ種類の言葉 > 人文 > 高等数学 > 行列 > 直交行列の意味・解説 

直交行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/09/11 14:37 UTC 版)

直交行列(ちょっこうぎょうれつ, : orthogonal matrix)とは、転置行列逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり n×n行列 M の転置行列を MT と表すときに、 MTM = M MT = E を満たすような M のこと。ただし、 En 次の単位行列であり、 E 自身も直交行列である。

有限次元計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列(成分が全て実数の直交行列)によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは(必ずしも有限次元でない)実計量ベクトル空間 V において内積を変えない(等長性をもつ)線形変換 f のことである。すなわち、 v, wV の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w) が成り立つ。ただし、(•, •) は内積を表す。

定義

n 次正方行列 M の 転置行列 MTM逆行列になっているとき、すなわち MT = M-1 を満たすとき、M直交行列であるという。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w) = vTw とする。v, w が行列 M により Mv, Mw に変換されたとき、内積は

となるので、行列 M が直交行列であるのは計量ベクトル空間 V の内積を変えないとき、かつそのときに限る。

直交行列は正則行列であり、直交行列はについて閉じている。n 次直交行列全体の集合を n直交群といい、O(n) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、SO(n) と書く。

回転行列

2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。

置換行列

2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。

反射行列

単位ベクトル u に直交する超平面についての鏡映を与える反射行列(ハウスホルダー行列H は、以下の式で与えられ、直交行列となる(I単位行列)。

性質

  • 直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列 A が直交行列なら行列式の性質から
となる。逆は必ずしも真ではない。
  • ユニタリ行列である。従って対角化可能である。
  • n 次行列 An 個の列ベクトル(行ベクトル) を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 AAT=E正規直交基底になる条件と同値である。
  • n 次の直交行列 An 次の列ベクトル x が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖Ax‖ = ‖x‖ である。したがって A の対応する作用素ノルムA ‖ = 1 である。

参考文献

関連項目

外部リンク

動画


直交行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/03/20 00:27 UTC 版)

回転 (数学)」の記事における「直交行列」の解説

上で述べた行列全体の成す集合 M(v,θ) の上行列の乗法考えたものは回転群 SO(3) である。 もっと一般に任意次元における座標回転は直交行列によって表されるn-次元直交行列で真の回転を表すもの(行列式 1 のもの)全体の成す集合に、行列の乗法入れたものは特殊直交群 SO(n) を成す。 直交行列は実成分考えるが、その複素行列における対応物としてユニタリ行列がある。与えられ次元 n を持つユニタリ行列全体の成す集合は n-次ユニタリ群 U(n) を成し、またその部分群として、真の回転を表すもの全体は n-次特殊ユニタリ群 SU(n) を成す。SU(2) の元は量子力学においてスピン回転用いられる

※この「直交行列」の解説は、「回転 (数学)」の解説の一部です。
「直交行列」を含む「回転 (数学)」の記事については、「回転 (数学)」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「直交行列」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ

直交行列

出典:『Wiktionary』 (2021/08/22 00:47 UTC 版)

名詞

直交行列ちょっこうぎょうれつ

  1. 転置行列を取ると逆行列になる行列tA = A−1 となる A のこと。

翻訳




直交行列と同じ種類の言葉


英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「直交行列」の関連用語

直交行列のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



直交行列のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの直交行列 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの回転 (数学) (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。
Text is available under Creative Commons Attribution-ShareAlike (CC-BY-SA) and/or GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblioに掲載されている「Wiktionary日本語版(日本語カテゴリ)」の記事は、Wiktionaryの直交行列 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、Creative Commons Attribution-ShareAlike (CC-BY-SA)もしくはGNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS