任意次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 14:43 UTC 版)
詳細は「超球面」および「超球の体積」を参照 球面の概念を、任意の次元に対して一般化することができる。自然数 n に対して「n-次元（ユークリッド）球面」("n-sphere") をしばしば Sn と書いて、中心となる定点から半径となる決まった距離 r の位置にある (n + 1)-次元ユークリッド空間内の点からなる軌跡として定義できる。特に 零次元球面 S0 は実数直線内の閉区間 [−r, r] の両端点である。 一次元球面 S1 は半径 r の円周である。 二次元球面 S2 は通常の球面 三次元球面 S3 は四次元ユークリッド空間内の超球面を表す n > 2 のとき、超球面ともいう。文献によっては余次元（英語版）が 1 のときに限って超球面と呼ぶ場合も稀にあるので文脈に注意すべきである。 Sn は、特に「単位球面」（原点を中心とする単位半径の球面）を表すために用いられることもある。 (n − 1)-次元単位超球面の表面積は、ガンマ函数 Γ(z) を用いて 2 π n / 2 Γ ( n / 2 ) {\displaystyle {\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}} で与えられる。
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任意次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/11 06:01 UTC 版)
有理多様体（射影空間に有理同値な多様体）は小平次元 −∞ である。アーベル多様体（射影的なコンパクト複素トーラス)は小平次元が 0 である。より一般的に、カラビ-ヤウ多様体（次元 1 では楕円曲線、次元 2 ではアーベル曲面やK3曲面であり、有限群でそれらの多様体を割った商）は小平次元が 0 である。次元 1 では楕円曲線が小平次元ゼロであり、次元 2 では複素トーラスとK3曲面が小平次元がゼロである（各々平坦な計量であること、リッチ計量が平坦であることに対応）。 有理曲線により被覆される任意の標数 0 の多様体（P1 からの非定数写像で得られる）を単線織多様体と言い、小平次元 −∞ を持つ。逆に、極小モデル理論の主予想（アバンダンス予想として有名）は、全ての小平次元が −∞ の多様体は単線織的ではないだろうかと予想している。この逆問題は、多様体の次元が 3 の場合のみ知られている。 Siu (2002) は全ての滑らかな複素多様体に対し、変形の下での多重種数の不変性を証明した。特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。 3次元代数多様体の分類表小平次元 κ(C)幾何種数 pg不正則数 q例 3 {\displaystyle 3} 一般型の3次元多様体 2 {\displaystyle 2} 一般のファイバーが楕円曲線となるような曲面上のファイバー構造 1 {\displaystyle 1} 一般のファイバーが κ = 0 の曲面となるような曲線上のファイバー構造 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle 3} アーベル多様体 0 {\displaystyle 0} 2 {\displaystyle 2} ファイバーが楕円曲線となるようなアーベル曲面上のファイバーバンドル 0 {\displaystyle 0} or 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} ファイバーが κ = 0 の曲面となるような楕円曲線上のファイバーバンドル 0 {\displaystyle 0} or 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 3次元カラビ・ヤウ多様体 − ∞ {\displaystyle -\infty } 0 {\displaystyle 0} ≥ 1 {\displaystyle \geq 1} 3次元単線織多様体 0 {\displaystyle 0} 0 {\displaystyle 0} 3次元有理多様体、3次元ファノ多様体、その他 正規射影多様体のファイバー構造 X → Y は、連結なファイバーを持つ全射の射(morphism)を意味する。一般型の3次元多様体 X に対して、d-標準写像は d ≥ 61 のときに双有理となる。
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