逆問題

デジタル大辞泉

ぎゃく‐もんだい【逆問題】

読み方：ぎゃくもんだい

《inverse problemの訳語》ある現象に着目し、結果や応答（出力）から原因（入力）を推定する解析方法。部分的・間接的に得られた情報や境界条件、誤差を含む観測値から、その現象を支配する方程式や数理モデルを決定することを指す。非破壊検査、重力探査、各種CTをはじめ、工学・理学・医療などの分野で応用されている。⇔順問題。

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逆問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/06 16:49 UTC 版)

逆問題（ぎゃくもんだい、英: inverse problem）とは、数学・物理学の一分野であり、入力（原因）から出力（結果、観測）を求める問題を順問題（じゅんもんだい、英: direct problem）と呼び、その逆に出力から入力を推定する問題や入出力の関係性を推定する問題を逆問題と呼ぶ。

歴史

逆関数の問題であると解釈すると、紀元前から扱われている問題である。しかし歴史的には物理において順問題と逆問題は今の使われ方とは異なっていた。例えばニュートンの時代では物体の動きからその作用する力を導くことが順問題だとされ、作用する力から物体の軌道を導くことが逆問題だとされていた。順問題と逆問題の定義は実際曖昧で、時代や学問分野によって異なることが多い。一般的には1820年代にニールス・アーベルがヤコビの逆問題を研究したのが、逆問題の最初の研究とされる。アーベルは方程式の解の公式の研究でも有名だが、方程式の解の公式自体も逆問題である。1929年にヴィクトル・アンバルツミャンも逆問題に関する論文を発表している。第二次世界大戦中に、弾道計算やレーダー探査など軍事上の目的により急速に発展した。現在では、非破壊検査や医療を目的とした利用も盛んに研究されている。

概要

順問題と逆問題は対になる概念であり、どちらが順でどちらが逆かというのは相対的な問題である。しかし対称的ではない。一般に、古くから問題として認識され研究が行われている方向のプロセスによるものを順問題とし、その逆方向のプロセスで解く方法は自明ではないのだが、それを解くことで何らかの工学的・その他の利用ができるような問題のことを逆問題と言う^{[注 1]}。

単純な順問題・逆問題の例を示す。f(x) = x² という関数について考える。f(2) や f(3) を計算して 4 や 9 と求めるのが順問題である。逆問題は2通りある。1つ目は、f(x) = 25 という問題で、x = 5 と解く問題である。2つ目は、関数が未知で、f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9 という情報から、f(x) がいかなるものかを推測する問題である。

この例において、特にひとつめは逆関数 f ^-1(x) = √x によって容易に得られる。しかし、一般には逆関数が容易にはわからない関数も多く、そういった場合を特に扱うのがこの分野である。

逆問題は入力を求める、と一口に言っても、ここでの「入力」とは単に入力信号のようなものだけを指すのではない。例えば、物理学・工学で材料に関する問題においては、扱う材料に作用している外力を求める逆問題だけでなく、

• 材料の境界・領域形状を求める
• 材料を支配している方程式を求める
• 材料についての境界値あるいは初期値を求める
• 材料の物性値を求める

といった、複数の逆問題が存在する。様々な問題設定があるように、様々な有益な用途があり、理論・実用の両面から研究が行われている。

問題の種類

逆問題としては、以下の2つのパターンがある。

1. 既知：モデル（関数）と出力
   未知：入力
2. 既知：入力と出力
   未知：モデル（関数）

順問題は、入力とモデル（関数）が既知で、出力が未知である。

適切性と非適切な問題

逆問題を解く際によく問題になるのが適切性 (良設定問題、英: well-posedness) である。次の3つの条件が満たされるとき、アダマールの意味で適切であるという。

1. 解の存在性： 解が存在すること
2. 解の一意性： 解がただ一つであること
3. 解の安定性： 入力に微小な変動を与えたときに、出力の変動も微小であること

上に挙げた f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9 から f(x) を推測する例で、逆問題の答えとしては ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

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