バッカス=ギルバート法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/14 14:15 UTC 版)
上の二つの正則化もそうであったが、x の推定値 x ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}} は観測値の線型結合で表されている。 x ^ = L y {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {y}}} 観測値 y は、真の値をノイズ付きで観測したものだから、y の定義式を代入して x ^ = L ( K x + n ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {L}}({\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {n}})} K は N 行 M 列（ N < M {\displaystyle N<M} ）だから、逆行列は存在しないが、ノイズがなければ、よい観測は x ^ = x {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {x}}} となるはずである。そこで、LK=I と L を定めればよさそうである。すなわち、行列 LK の成分 {LK}ij がクロネッカーのデルタ δij になれば理想的である。しかし、実際にはノイズがあるからこのようにはならない。そこで、クロネッカーのデルタにできるだけ形の近いものになるようにする。バッカスとギルバートは LK の行ベクトルのクロネッカーのデルタからのずれ、 ∑ j = 1 N ( i − j ) 2 ( { L K } i j − δ i j ) 2 {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}(i-j)^{2}(\{LK\}_{ij}-\delta _{ij})^{2}} を最小にすれば良いと考えた。これが最小化関数 J の第一項となる。 正規化のための第二項は、多数の観測で得られたパラメタ推定値のばらつきが少ないという条件を用いる。観測値のばらつき（ノイズ）は n だから、 L E ( n n ⊺ ) L ⊺ {\displaystyle {\boldsymbol {L}}\mathrm {E} ({\boldsymbol {n}}{\boldsymbol {n}}^{\intercal }){\boldsymbol {L}}^{\intercal }} が最小化関数 J の第二項となる。
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