任意濃度の添字集合の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 01:28 UTC 版)
必ずしも可算でない無限集合 I で添字付けられる非負実数の族 (ai)i∈I の総和は、発散する場合も含めて ∑ i ∈ I a i = sup A ⊂ I A :finite { ∑ i ∈ A a i } ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{A\subset I \atop A{\text{:finite}}}{\Bigl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,{\bigr \}}\in [0,\infty ]} によって定義することができる。和の値が有限となるならば、ai > 0 となるような i ∈ I は高々可算である。実際このとき、任意の n ≥ 1 に対して、集合 An = {i ∈ I | ai > 1/n} は 1 n card ( A n ) ≤ ∑ i ∈ A n a i ≤ ∑ i ∈ I a i < ∞ {\displaystyle {\frac {1}{n}}{\textrm {card}}(A_{n})\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty } となるから、有限集合であることがわかる（ここに card(A) は集合 A の濃度を表す）。I が可算無限集合で、I = {i0, i1, ..., ik, ...} と数え上げられるならば、先ほどの和の定義は ∑ i ∈ I a i = ∑ k = 0 ∞ a i k {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{i_{k}}} を満たす（級数の値として無限大 ∞ を許す）。 非負実数で添字付けられる族の和は、非負値関数の数え上げ測度に関する積分として理解することができる。この二つの構成の間には多くの共通性が認められる。
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