発散する場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/01 14:57 UTC 版)
「ダランベールの収束判定法」の記事における「発散する場合」の解説
次の級数を考える。 ∑ n = 1 ∞ e n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}} これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、 lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | e n + 1 n + 1 e n n | = lim n → ∞ | 1 1 + 1 n e | = e > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {e^{n+1}}{n+1}}\;}{\;{\dfrac {e^{n}}{n}}\;}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{1+{\dfrac {1}{n}}}}e\right|\\&=e>1\end{aligned}}} eは1より大きいため、級数は発散する。
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