発散微分とディラックのデルタ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
「静磁場」の記事における「発散微分とディラックのデルタ」の解説
原点(r=0)を除いて、 div r [ r | r | ] = 3 | r | 3 − 3 | r | 2 | r | 5 = 0 {\displaystyle \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]={\frac {3}{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {3{|\mathbf {r} |}^{2}}{{|\mathbf {r} |}^{5}}}=0} であり、原点(r=0)を中心とする、球体BLに対し、ガウスの発散定理を用いると、 ∫ r ∈ B L div r [ r | r | ] d 3 r = 4 π {\displaystyle {\int }_{\mathbf {r} \in BL}\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]\ d^{3}r=4\pi } となるので、結局、 div r [ r | r | ] = 4 π δ ( r ) {\displaystyle \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]=4\pi \delta (\mathbf {r} )} であることが判る。(ここで、δは、3変数のδ関数である。以上の議論を平行移動させると、 div r [ r − s | r − s | ] = 4 π δ ( r − s ) {\displaystyle \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )} であることが判る。
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発散微分とディラックのデルタ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:14 UTC 版)
「遅延ポテンシャル」の記事における「発散微分とディラックのデルタ」の解説
首記の件について述べる。必要に応じ、例えば、川村P51 式(2.69)を参照のこと。 式(S4-3-6)より、 原点(r=0)を除いて、 div r [ r | r | 3 ] = 3 | r | 3 − 3 | r | 2 | r | 5 = 0 {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\right]={\frac {3}{|{\boldsymbol {r}}|^{3}}}-{\frac {3{|{\boldsymbol {r}}|}^{2}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{5}}}=0} (S5-2-1) である。従って、 div r {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}} の体積積分は、原点を含む領域である限り、任意の領域で積分しても同じ値である。従って、 積分が簡単となりそうな、「原点(r=0)を中心とする、半径1の球体」Ball(1)上での体積積分を考える。ここで、 S 2 ( 1 ) {\displaystyle {S}^{2}(1)} は、半径1の球面 球体Ball(1)に対し、ガウスの発散定理を用いると、 ∫ r ∈ B a l l ( 1 ) div r [ r | r | 3 ] d 3 r = ∫ r ∈ S 2 ( 1 ) r | r | 3 d ( S 2 ( 1 ) ) = 4 π {\displaystyle {\int }_{{\boldsymbol {r}}\in Ball(1)}\operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\right]\ d^{3}r={\int }_{{\boldsymbol {r}}\in {S}^{2}(1)}{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\ d({S}^{2}(1))=4\pi } (S5-2-2) となる。 一方で、δ3、即ち3変数のδ関数に対し、以下が成り立つ。 ∫ r ∈ B a l l ( 1 ) δ 3 ( r ) d 3 r = 1 {\displaystyle {\int }_{{\boldsymbol {r}}\in Ball(1)}{\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})\ d^{3}r=1} (S5-2-3) 従って、式(S5-2-2)、(S5-2-3)より、 div r [ r | r | 3 ] = 4 π δ ( r ) {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\right]=4\pi \delta ({\boldsymbol {r}})} (S5-2-4) であることが判る。以上の議論を平行移動させると、 div r [ r − s | r − s | 3 ] = 4 π δ ( r − s ) {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}\right]=4\pi \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})} (S5-2-5) であることが判る。
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