発散級数の総和法に関する定理とは? わかりやすく解説

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発散級数の総和法に関する定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/05/29 21:31 UTC 版)

発散級数」の記事における「発散級数の総和法に関する定理」の解説

総和法 M が正則であるとは、収束級数については通常の和と一致することである。総和法 M が正則であることを示す定理は(アーベルの定理原型的な例であることから)M に対すアーベル定理という(また、正則であるという代わりに「M についてのアーベル定理成り立つ」というように述べることもできる)。これの「部分的に逆」の結果与えタウバー型定理は、より重要で一般にはより捉えにくい(呼称は、原型的な例をアルフレッド・タウバーが与えたことによる)。ここで「部分的に逆」というのは M が級数 Σ を総和し、かつ「ある特定の付加条件を満たす」ならば、Σ はそもそも収束級数であるということ言っている。「なんらの付加条件をなにも課さない形でタウバー型定理成立する」ならば M は収束級数だけしか総和できないという意味になる(これでは発散級数総和法としては役に立たない)。 収束級数にその和を対応させる作用素線型であり、ハーン-バナッハの定理によれば、これを部分和有界となる任意の級数総和する総和法拡張することができる。しかしこの事実実用上はあまり有用ではない。そういった拡張大部分互いに無矛盾はならず、またそのような拡張され作用素存在をしめすのに選択公理あるいはそれと同値ツォルンの補題などの適用を必要とするため、構成的拡張得られないためである。 解析学領域での発散級数に関する主題としては、もともとはアーベル総和法チェザロ総和法ボレル総和といった明示的自然な手法およびそれらの関係性関心もたれていた。ウィーナータウバー型定理英語版フランス語版)の出現時代契機となってフーリエ解析におけるバナッハ環の手法との予期せぬ関連がこの主題導入されることとなる。 発散級数総和法数値解法としての外挿法級数変形法にも関係するそのような手法として、パデ近似レヴィン級数変形および量子力学高次摂動論対す繰り込み手法関係した次数依存写像 (order-dependent mapping) などが挙げられる

※この「発散級数の総和法に関する定理」の解説は、「発散級数」の解説の一部です。
「発散級数の総和法に関する定理」を含む「発散級数」の記事については、「発散級数」の概要を参照ください。

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