バナッハ環とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

バナッハ環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/10 01:11 UTC 版)

数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環^{[注釈 1]}（バナッハかん、英: Banach algebra; バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 $R$ または複素数体 $C$ ^{[注釈 2]}）上の結合多元環 $A$ であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、ノルムの誘導する位相（ドイツ語版）に関して完備）ともなる。バナッハ代数におけるノルムは乗法に関して

脚注

注釈

^ 狭義にバナッハ環 (Banach ring) という場合、係数体やスカラー乗法を考えないものをいう。
^ に絶対値をノルムとして入れたもの。他には $p$ -進数体 $Q p$ などの非アルキメデス付値体などを考えることもできる
^ 特に、乗法単位元を持つが非単位的なバナッハ代数というものが存在する^[1]
^ 証明：可換 $C*$ -環のすべての元は正規であるため、そのゲルファント表現は等長となる。特に、それは単射でありその像は閉となる。しかしゲルファント表現の像は、ストーン＝ワイエルシュトラスの定理より稠密となる。

出典

^ 例の一つは Banach algebra in nLab 2. Examples の後段
^ Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Proposition 2.8.

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対合バナッハ環

(バナッハ環から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/04/19 15:08 UTC 版)

対合バナッハ環（ついごうバナッハかん、英: involutive Banach algebra; 対合バナッハ代数）、バナッハ *-環（バナッハ・スターかん、英: Banach *-algebra; バナッハ *-代数, バナッハ対合環）あるいは対合付きバナッハ環 (Banach algebra with involution) は、複素数体上のバナッハ環 $A$ で、対合 $*: A \to A$ を持ち、以下の条件を満たす: $x, y \in A$ および $λ \in C$ は任意、かつ $λ$ は $λ$ の複素共軛として

参考文献

^ Moslehian, Mohammad Sal, "Involutive Banach Algebra" - MathWorld.（英語）
^ ^a ^b Banach algebra - PlanetMath.（英語）

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1 対合バナッハ環とは
2 対合バナッハ環の概要

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