バナッハによる証明

ウィキペディア小見出し辞書

バナッハによる証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/09 22:36 UTC 版)

「バナッハの不動点定理」の記事における「バナッハによる証明」の解説

任意の x0 ∈ (X, d) に対して列 {xn} を xn = T(xn−1) によって定義する。バナッハによる元々の証明は、いくつかの補題を示すことで完成される： 補題 1 すべての n ∈ N に対して、d(xn+1, xn) ≤ qnd(x1, x0) が成り立つ。 証明 帰納法によって証明される。基本となる n=1 の場合は、 d ( x 1 + 1 , x 1 ) = d ( x 2 , x 1 ) = d ( T ( x 1 ) , T ( x 0 ) ) ≤ q d ( x 1 , x 0 ) より従う。ある k ∈ N に対して成立すると仮定すると、次が成り立つ。 d ( x ( k + 1 ) + 1 , x k + 1 ) = d ( x k + 2 , x k + 1 ) = d ( T ( x k + 1 ) , T ( x k ) ) ≤ q d ( x k + 1 , x k ) ≤ q q k d ( x 1 , x 0 ) Induction Hypothesis = q k + 1 d ( x 1 , x 0 ) . 数学的帰納法より、すべての n ∈ N に対して補題は示される。 補題 2 {xn} は (X, d) におけるコーシー列で、X 内のある極限 x* に収束する。 証明 m, n ∈ N を、m > n を満たすものとする。このとき次が成り立つ。 d ( x m , x n ) ≤ d ( x m , x m − 1 ) + d ( x m − 1 , x m − 2 ) + ⋯ + d ( x n + 1 , x n ) Triangle Inequality ≤ q m − 1 d ( x 1 , x 0 ) + q m − 2 d ( x 1 , x 0 ) + ⋯ + q n d ( x 1 , x 0 ) Lemma 1 = q n d ( x 1 , x 0 ) ∑ k = 0 m − n − 1 q k ≤ q n d ( x 1 , x 0 ) ∑ k = 0 ∞ q k = q n d ( x 1 , x 0 ) ( 1 1 − q ) Geometric Series ε > 0 を任意とする。q ∈ [0, 1) であることより、十分大きな N ∈ N に対して次が成り立つ。 q N < ε ( 1 − q ) d ( x 1 , x 0 ) . したがって m, n を十分大きな数とすれば、次が得られる。 d ( x m , x n ) ≤ q n d ( x 1 , x 0 ) ( 1 1 − q ) < ( ε ( 1 − q ) d ( x 1 , x 0 ) ) d ( x 1 , x 0 ) ( 1 1 − q ) = ε . ε> 0 が任意であることより、列 {xn} はコーシー列であることが分かる。 補題 3 x* は T の不動点である。 証明 再帰的な関係 xn = T(xn−1) の両辺の極限を取る： lim n → ∞ x n = lim n → ∞ T ( x n − 1 ) T は縮小写像なので、連続である。したがって、極限を写像の内側で取ることが出来る： lim n → ∞ x n = T ( lim n → ∞ x n − 1 ) . したがって、x* = T(x*) である。 補題 4 x* は T の (X, d) 内における唯一つの不動点である。 証明 y も T(y) = y を満たす不動点であるとする。このとき 0 ≤ d ( x ∗ , y ) = d ( T ( x ∗ ) , T ( y ) ) ≤ q d ( x ∗ , y ) が成り立つ。q ∈ [0, 1) であることに注意すると、この不等式は 0 ≤ (1−q)d(x*, y) ≤ 0 を意味する。したがって d(x*, y) = 0 であり、正定値性から x* = y が成り立つ。