バナッハ空間
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数学におけるバナッハ空間（バナッハくうかん、英: Banach space; バナハ空間）は、完備なノルム空間、即ちノルム付けられた線型空間であって、そのノルムが定める距離構造が完備であるものを言う。
解析学に現れる多くの無限次元函数空間、例えば連続函数の空間（コンパクトハウスドルフ空間上の連続写像の空間）、 Lp-空間と呼ばれるルベーグ可積分函数の空間、ハーディ空間と呼ばれる正則函数の空間などはバナッハ空間を成す。これらはもっとも広く用いられる位相線型空間であり、これらの位相はノルムから規定されるものになっている。
バナッハ空間の名称は、この概念をハーンとヘリーらと共に1920-1922年に導入したポーランドの数学者ステファン・バナフに因む[1]。
定義
バナッハ空間の厳密な定義[2]は、
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ノルム空間 V がバナッハ空間であるとは、V 内の各コーシー列 {vn}∞
n=1 に対して V の適当な元 v を選べば国立図書館 その他
バナッハ空間
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「変分法における直接解法」の記事における「バナッハ空間」の解説
直接解法はしばしば、可分かつ回帰的なバナッハ空間 W {\displaystyle W} の部分集合として空間 V {\displaystyle V} が与えられる場合に適用される。この場合、列的バナッハ＝アラオグルの定理は、 V {\displaystyle V} 内の任意の有界列 ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} は、弱位相に関して W {\displaystyle W} 内のある u 0 {\displaystyle u_{0}} に収束する部分列を持つ。 V {\displaystyle V} が W {\displaystyle W} 内において列的に閉で、したがって u 0 {\displaystyle u_{0}} が V {\displaystyle V} に属する場合は、直接解法は次を示すことによってある汎函数 J : V → R ¯ {\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}} に対して適用される。 J {\displaystyle J} は下に有界 J {\displaystyle J} に対する任意の最小化列は有界 J {\displaystyle J} は弱列的下半連続、すなわち、任意の弱収束列 u n → u 0 {\displaystyle u_{n}\to u_{0}} に対して lim inf n → ∞ J ( u n ) ≥ J ( u 0 ) {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})} が成り立つ。 この二番目は、通常 J {\displaystyle J} がある成長条件を許すことを示すことによって示される。その一例は次のようなものである。 J ( x ) ≥ α ‖ x ‖ q − β {\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta } for some α > 0 {\displaystyle \alpha >0} , q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} and β ≥ 0 {\displaystyle \beta \geq 0} . この性質を持つ汎函数はしばしば強圧的（coercive）と呼ばれる。列的下半連続性は、直接解法を適用する上で通常最も難しい条件である。より一般の汎函数のクラスに対する定理は次節を参照されたい。
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