Banach space

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バナッハ空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/28 16:50 UTC 版)

数学におけるバナッハ空間（バナッハくうかん、英: Banach space; バナハ空間）は、完備なノルム空間、即ちノルム付けられた線型空間であって、そのノルムが定める距離構造が完備であるものを言う。

解析学に現れる多くの無限次元函数空間、例えば連続函数の空間（コンパクトハウスドルフ空間上の連続写像の空間）、 L^p-空間と呼ばれるルベーグ可積分函数の空間、ハーディ空間と呼ばれる正則函数の空間などはバナッハ空間を成す。これらはもっとも広く用いられる位相線型空間であり、これらの位相はノルムから規定されるものになっている。

バナッハ空間の名称は、この概念をハーンとヘリーらと共に1920-1922年に導入したポーランドの数学者ステファン・バナフに因む。

定義

バナッハ空間の厳密な定義は、

ノルム空間 V がバナッハ空間であるとは、V 内の各コーシー列 {v_n}∞
n=1 に対して V の適当な元 v を選べば

$\lim _{n\to \infty }v_{n}=v$

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